1、第4课时 数列求和 求数列的前 n 项和的方法1公式法(1)等差数列的前 n 项和公式Sn_na1_.(2)等比数列前 n 项和公式当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna11qn1qa1anq1q.nn12dna1an22分组转化法把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项4倒序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广1数列(1)nn的前 2 010 项的和 S2 01
2、0 为()A2 010 B1 005C2 010 D1 005解析：S2 010123452 0092 010(12)(34)(2 0092 010)1 005.答案：D2若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n 项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2解析：Sn212n12 n12n12 2n12n2.答案：C3数列an的前 n 项和为 Sn，若 an1nn1，则 S5 等于()A1 B.56C.16D.130解析：an1nn1n1nnn1 1n 1n1S5a1a2a3a4a51121213151656.答案：B4已知数列an的通项 an5n2，则其
3、前 n项和 Sn_.解析：Sna1a2a3an5(123n)2n5nn122n5n2n2.答案：5n2n25数列1,412，714，1018，前 10项的和为_解析：1412714101828 1512(14728)121418 1512145511512.答案：145511512 分组转化求和分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之已知函数 f(x)2x3x1，点(n，an)在 f(x)的图象上，an 的前 n 项和为 Sn.(1)求使 an0 的 n 的最大值(2)求 Sn.解析：(1)依题意 an2n3n1，
4、an0 即 2n3n10.当 n3 时，239120.当 n4 时，2412130，2n3n10 中 n 的最大值为 3.(2)Sna1a2an(2222n)3(123n)n212n12 3nn12n2n1n3n522.【变式训练】1.求和 Sn1112 1121411214 12n1解析：和式中的第 k 项为：ak11214 12k1112k11221 12k.Sn2112 1 122 1 12n2111n个12 122 12n2n121 12n1122n1 12n2n2 12n1.错位相减法求和1一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减
5、法2用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式数列an中 a13，已知点(an，an1)在直线 yx2 上，(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnan3n，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析：(1)点(an，an1)在直线 yx2 上，an1an2，即 an1an2.数列an是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，an32(n1)2n1.(2)bnan3n，bn(2n1)3n，Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，3
6、Tn332533(2n1)3n(2n1)3n1，由得2Tn332(32333n)(2n1)3n192913n113(2n1)3n1Tnn3n1.【变式训练】2.已知数列an满足：Sn1an(nN*)，其中 Sn 为数列an的前 n 项和(1)试求an的通项公式；(2)若数列bn满足：bn nan(nN*)，试求bn的前 n 项和公式 Tn.解析：(1)Sn1an，Sn11an1.得 an1an1an.an112an(nN*)又当 n1 时，a11a1，a112.an1212n112n(nN*)(2)由(1)得 bnnann2n(nN*)Tn12222323n2n.2Tn122223324n2n
7、1得Tn222232nn2n1212n12 n2n1.整理得：Tn(n1)2n12，nN*.裂项相消法求和数 列 通 项 形 如an 1nn1，bn 12n1 2n1等可用此法使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列an中每一项 an 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点实质上，正负项相消是此法的根源和目的等差数列an是递增数列，前 n 项和为 Sn，且a1，a3，a9 成等比数列，S5a25.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bnn2
8、n1anan1，求数列bn的前 99 项的和解析：(1)设数列an的公差为 d(d0)，a1，a3，a9 成等比数列，a23a1a9，(a12d)2a1(a18d)，d2a1d，d0，a1d，S5a25，5a1542 d(a14d)2由得 a135，d35，an35(n1)3535n(nN*)(2)bn n2n135n35n1259 n2n1nn1259 11n 1n1，b1b2b3b99259111211213113141 199 1100259 991 11002752.75277.75.【变式训练】3.已知数列 1，112，1123，1123n的前 n 项和为 Sn，bnSnn.(1)求
9、数列bn的通项公式；(2)若 Cnbnbn1，Cn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn2 对任意 nN*成立解析：(1)an1123n1nn1221n 1n1，Sn2112 21213 21n 1n121 1n1 2nn1，bnSnn 2n1(nN*)(2)证明：Cnbnbn1 2n1 2n24n1n241n1 1n2，Tn41213 41314 41n1 1n2 412 1n2 4122，即 Tn2 对任意 nN*成立数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和(2)数列求和的
10、常见类型及方法anknb，利用等差数列前 n 项和公式直接求解；anaqn1，利用等比数列前 n项和公式直接求解，但要注意对 q 分 q1 与 q1 两种情况进行讨论；anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组转化法求an前n项和；anbncn，bn是等差数列，cn是等比数列，采用错位相减法求an前 n 项和；anf(n)f(n1)，采用裂项相消法求an前 n 项和；ankakcbn，可考虑倒序相加法求和；an(1)nf(n)，可采用相邻两项合并求解，即采用“并项法”从近两年高考试题来看，错位相减法求和是高考的热点，题型以解答题为主，往往和其他知识相结合，考查较为全面，在考查基
11、本运算、基本概念的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力(本小题满分 12 分)(2010全国新课标卷)设数列an满足 a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn.【规范解答】(1)由已知，当 n1 时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.4 分而 a12，符合上式，所以数列an的通项公式为 an22n1.6 分(2)由 bnnann22n1 知Sn12223325n22n1，8 分从而 22Sn123225327n22n1.9 分得(122)Sn2232522n1
12、n22n1，10 分即 Sn19(3n1)22n12.12 分【阅后报告】考生解答难点为：一是不会利用累加法求 an，同时不对 n1 时进行验证：二是后易漏掉 n22n1 或忘记等式两边同除3.1(2010山东卷)已知等差数列an满足：a37，a5a726.an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an 及 Sn；(2)令 bn1a2n1(nN*)，求数列bn的前 n 项和Tn.解析：(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a5a726，所以 a12d7,2a110d26，解得 a13，d2.由于 ana1(n1)d，Snna1an2，所以 an2n1，Snn(n2)(2)因
13、为 an2n1，所以 a2n14n(n1)，因此 bn14nn1141n 1n1.故 Tnb1b2bn1411212131n 1n1141 1n1 n4n1.所以数列bn的前 n 项和 Tnn4n1.2(2010全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1a221a1 1a2，a3a4a5641a3 1a4 1a5.(1)求an的通项公式；(2)设 bnan 1an2，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析：(1)设等比数列an的公比为 q，则ana1qn1，由已知有a1a1q21a1 1a1q，a1q2a1q3a1q4641a1q2 1a1q3 1a1q4，化简得a21q2，a21q664.又 a10，故 q2，a11.所以 an2n1.(2)由(1)知 bnan 1an2a2n 1a2n24n1 14n12.因此 Tn(144n1)114 14n1 2n4n141 1 14n1142n13(4n41n)2n1.练规范、练技能、练速度