1、课时分层作业(十六)空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：60分钟)一、选择题1给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由，不能构成空间的一个基底，知，共面又，过相同点B，知A，B，M，N四点共面所
2、以正确下面证明正确：假设d与a，b共面，则存在实数，使得dab，d与c共线，c0，存在实数k，使得dkcd0，k0，从而cab，c与a，b共面，与条件矛盾，d与a，b不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选D2已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且ijk，则B点的坐标为()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定Dijk，只能确定的坐标为(1,1，1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定3正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以1，2，3为基底，x1yz3，则x，y，z的值是()Axyz1
3、 BxyzCxyz Dxyz2A()()()，由空间向量的基本定理，得xyz14已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A BC D或C因为ab2，所以a，b与共面，不能构成空间的一个基底5如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则等于()ABCDC由题图知B(1,1,0)，E，所以二、填空题6已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_11因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得7如图， 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M
4、为AC和BD的交点，若a，b，c，则_abc()()abc8已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1，则的坐标为_PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，M，P(0,0,1)，C(1,1,0)，则N三、解答题9如图所示，正方体OABCOABC，且a，b，c(1)用a，b，c表示向量，；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示解(1)abcbca(2)()()(cb)10在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若
5、xaybzc，求实数x，y，z的值解(1)如图，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z11已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于()AB()CDB如图，()()()2已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底，下的坐标为(2,1，3)，则向量a在基底，下的坐标为()A(2,1，3) B(1,2，3)C(1，8,9) D(1,8，9)Ba232323DD1，向量a在基底，下的坐标为(1,2，3)，故选B3在空间四边形ABCD中，a2c，5a5b8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则_3ab
6、3c()()()()3ab3c4已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则p在基底2a，b，c下的坐标为_；在基底ab，ab，c下的坐标为_(1,1,1)由题意知p2abc，则向量p在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1)，设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，又p2abc，解得x，y，z1；p在基底ab，ab，c下的坐标为5已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量，的坐标解过点A作AG垂直平面BCD于点G，所以G为BCD的中心，过点G作GFCD，延长BG交CD于点E，则E为CD的中点以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，因为BCD的边长为1，所以BE，GE，又，所以GF，又BG，所以AG设单位正交基底为e1，e2，e3，则e2e3e2e1e3，e2e1e3