1、2015-2016学年浙江省丽水市高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，合计24分）1函数y=sin（x+）的图象关于原点对称，则的一个取值是（）ABCD2在ABC中， =， =，且0，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形3等比数列an的公比，前n项和为Sn，则=（）A31B15C7D14要得到函数y=2sin（2x+）的图象，需要将函数y=2sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位5四边形ABCD中，ABC=ADC=90，AB=2，AD=3，则=（）A5B5C1D16已知函数y=sinx+acosx的图象关于x
2、=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线（）Ax=对称Bx=对称Cx=对称Dx=对称7A，B，C为圆O上三点，且直线OC与直线AB交于圆外一点，若=m+n，则m+n的范围是（）A（0，1）B（1，+）C（1，0）D（，1）8在ABC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二、填空题（每小题3分，共计21分）9计算sin43cos13sin13cos43的值等于10已知：sinsin=，coscos=，则cos（）=11在ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，
3、则B的大小是12设等比数列an的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=13设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等，则a1=14已知ABC中，则=15在ABC中，已知BC=4，AC=3，cos（AB）=，则ABC的面积为三、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，若f（A）=3，b+c=a，判断ABC的形状17在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=60（）若a=3，b=，求c的值；（）若f（A）
4、=sinA（cosAsinA），求f（A）的最大值18已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x0的解集为（1，3）（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围19已知数列an满足前n的和为Sn=n2，数列bn满足bn=，且前n项的和Tn，设cn=T2n+1Tn（1）求数列bn的通项公式；（2）判断数列cn的单调性20设m个正数a1，a2，am（m4，mN*）依次围成一个圆圈其中a1，a2，a3，ak1，ak（km，kN*）是公差为d的等差数列，而a1，am，am1，ak+1，ak是公比为2的等比数列（
5、1）若a1=d=2，k=8，求数列a1，a2，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=2，m2015，求m的最大值；（3）是否存在正整数k，满足a1+a2+ak1+ak=3（ak+1+ak+2+am1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由2015-2016学年浙江省丽水市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，合计24分）1函数y=sin（x+）的图象关于原点对称，则的一个取值是（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】函数y=sin（x+）的图象关于原点对称函数为奇函数f（0）=sin=0从而可求的一个值【解答】解：函数y=si
6、n（x+）的图象关于原点对称，函数为奇函数f（0）=sin=0=k，kZ当=，函数y=sin（x+）的图象关于原点对称故选C2在ABC中， =， =，且0，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】根据已知推断出0，进而根据向量的数量积的运算推断出B90【解答】解：00B90，即三角形为钝角三角形，故选：D3等比数列an的公比，前n项和为Sn，则=（）A31B15C7D1【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的首项为a1，利用公比为，将分子、分母都用首项a1表示，即可得到结论【解答】解：由题意，设等比数列an的首项为a1，公比为
7、q=，=15故选：B4要得到函数y=2sin（2x+）的图象，需要将函数y=2sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=2sin2x到y=2sin（2x+）的路线，进行平移变换，推出结果【解答】解：将函数y=2sin2x向左平移个单位，即可得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象故选：C5四边形ABCD中，ABC=ADC=90，AB=2，AD=3，则=（）A5B5C1D1【考点】平面向量数量积的运算【分析】不妨假设四边形ABCD为矩形，则=（+）（）=，
8、结合条件求得结果【解答】解：根据题意，不妨假设四边形ABCD为矩形，则=（+）（）=94=5，故选：A6已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=对称，则函数y=asinx+cosx的图象关于直线（）Ax=对称Bx=对称Cx=对称Dx=对称【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数【分析】利用两角和的正弦函数化简函数y=sinx+acosx为y=sin（x+），tan=a，通过函数的图象关于x=对称，推出+=k+，kz，可求得=k，由此可求得a=tan=tan（k）=，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+），（令
9、tan=a）又函数的图象关于x=对称，+=k+，kz，可求得=k，由此可求得a=tan=tan（k）=，函数y=sinx+cosx=sin（x+），（tan=）其对称轴方程是x+=k+，kz，即x=k+又tan=，故=k1，k1z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（kk1）+=（kk1）+，kk1z，当kk1=1时，对称轴方程为x=故选C7A，B，C为圆O上三点，且直线OC与直线AB交于圆外一点，若=m+n，则m+n的范围是（）A（0，1）B（1，+）C（1，0）D（，1）【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】可设直线OC与直线AB交于点D，这样画出图形，从而可得出，并
10、得到k1，进而得出，由A，B，D三点共线即可得到km+kn=1，这样根据k的范围，即可求出m+n的范围【解答】解：如图，设直线OC与直线AB交于D，则：，且k1；又；，且A，B，D三点共线；km+kn=1；，k1；0m+n1；即m+n的范围是（0，1）故选A8在ABC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案【解答】解：（a2+b2）（sin
11、AcosBcosAsinB）=（a2b2）（sinAcosB+cosAsinB），a2sinAcosBa2cosAsinB+b2sinAcosBb2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinBb2sinAcosBb2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在ABC中，由正弦定理=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，2sinAcosA=2sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B 或者2A=1802B，A=B或者A+B=90ABC是等腰三角形或者直角三角形故选D二、填空题（每小题3分，
12、共计21分）9计算sin43cos13sin13cos43的值等于【考点】两角和与差的正弦函数【分析】可把43=30+13利用和与差的正弦、余弦公式化简并利用特殊角的三角函数值及同角三角函数的基本关系求出即可【解答】解：原式=sin（30+13）cos13sin13cos（30+13）=（sin30cos13+cos30sin13）cos13sin13（cos30cos13sin30sin13）=cos213+sin13cos13sin13cos13+sin213=故答案为10已知：sinsin=，coscos=，则cos（）=【考点】两角和与差的余弦函数【分析】根据两角和差的余弦公式，将条件
13、进行平方相加即可得到结论【解答】解：sinsin=，coscos=，平方相加得sin22sinsin+sin2+cos22coscos+cos2=，即22cos（）=，则2cos（）=，则cos（）=，故答案为：11在ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则B的大小是【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余
14、弦定理可得cosB=；B=故答案为12设等比数列an的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=3：4【考点】等比数列的性质【分析】设出等比数列的首项和公比，由题意可知公比不为1，所以利用等比数列的前n项和公式化简已知的比例式，即可求得公比立方的值，然后再利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子，把公比的立方代入即可求出所求式子的比值【解答】解：设等比数列的首项为a，公比为q，根据题意得：q1，所以S6：S3=： =1：2，即1+q3=得到q3=，则S9：S3=： =1（q3）3：（1q3）=： =3：4故答案为：3：413设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差
15、相等，则a1=【考点】等差数列的性质【分析】设公差为d，首项a1，利用等差中项的概念列关系，通过两次平方运算及可求得答案【解答】设公差为d，首项a1an，都是等差数列，且公差相等，2=+，即2=+，两端平方得：4（2a1+d）=a1+3a1+3d+2，4a1+d=2，两端再平方得：16+8a1d+d2=4a1（3a1+3d），44a1d+d2=0，d=2a1，又两数列公差相等，=a2a1=d=2a1，即=2a1，解得：2=1，a1=或a1=0（an为正项数列，故舍）a1=故答案为：14已知ABC中，则=7【考点】正弦定理的应用；向量在几何中的应用【分析】利用向量的数量积和向量夹角的定义，将转化
16、为=，再应用正弦定理将边转化为角表示，即可得到sinAcosB=7cosAsinB，把化为正余弦表示代入即可得答案【解答】解：，根据向量数量积的和向量夹角的定义，=4，根据正弦定理，可得3sinBcosA+3cosBsinA=4sinC，又4sinC=4sin（A+B）=4sinAcosB+4cosAsinB，sinAcosB=7cosAsinB，=故答案为：715在ABC中，已知BC=4，AC=3，cos（AB）=，则ABC的面积为【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由题意得到BAC大于B，如图所示，作AD，使BAD=B，得到DAC=BACB，设AD=BD=x，则DC=4x，在ADC中，由余
17、弦定理列出关于x的方程，求出方程的解，得到x的值，确定出AD与DC的长，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出cosC的值，可得sinC的值，从而求得ABC面积是ACBCsinC的值【解答】解：ABC中，BC=4，AC=3，cos（AB）=，AB，（AB）为锐角，如图，作AD，使BAD=B，则DAC=BACB，即cosDAC=cos（BACB）=设AD=BD=x，则DC=4x，在ADC中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC22ADACcosDAC，即（4x）2=x2+92x3，解得：x=2，AD=2，DC=2，在ADC中，由余弦定理得cosC=，sinC=，故ABC面积是： ACBCsinC=
18、34=，故答案是：三、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，若f（A）=3，b+c=a，判断ABC的形状【考点】三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【分析】（1）首先将三角函数式整理化简为f（x）=Asin（x+）的形式，求增区间需令x+，解出x的范围，（2）判断三角形形状一般转化为三边或三角的关系，本题中可以容易求得A角，因此可将边通过正弦定理转化为角，求出三角判断形状【解答】解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2co
19、s2x=，由，得，函数f（x）的递增区间是，kZ；（2）由题意得：由f（A）=3，得=3，则A=或A=0（舍去），由b+c=a，得sinB+sinC=，sinB+sin（）=，则，sin（B+）=，B=或B=，C=或C=故ABC是直角三角形17在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=60（）若a=3，b=，求c的值；（）若f（A）=sinA（cosAsinA），求f（A）的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【分析】（）由余弦定理知b2=a2+c22accosB，代入a=3，B=60，从而有：c23c+2=0，即可解得：c=1或2；（）由二倍角公式得：，整理有，即可
20、求f（A）的最大值【解答】解：（）由b2=a2+c22accosB，a=3，B=60可解得：c23c+2=0可解得：c=1或2；（）由二倍角公式得：，当时，f（A）最大值为18已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x0的解集为（1，3）（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；（2）根据二次函数的性质进行求解【解答】解（1）依题意可设f（x）+2x=a（x1）
21、（x3）即a（x1）（x3）0的解集为（1，3）a0f（x）=ax22（2a+1）x+3a又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，ax22（2a+1）+9a=0有两相等实根=4（2a+1）236a2=0（a=1舍去）（2）0a0a2+4a+10故19已知数列an满足前n的和为Sn=n2，数列bn满足bn=，且前n项的和Tn，设cn=T2n+1Tn（1）求数列bn的通项公式；（2）判断数列cn的单调性【考点】数列递推式；数列的函数特性【分析】（1）利用an+1=Sn+1Sn即得结论；（2）写出cn+1cn的表达式，利用放缩法即得结论【解答】解：（1）Sn=n2，a1=S1=1，an+1=Sn+
22、1Sn=（n+1）2n2=2n+1，bn=，又b1=1满足上式，bn=；（2）cn=T2n+1Tn=+，cn+1=+，cn+1cn=+=0，数列cn是递减数列20设m个正数a1，a2，am（m4，mN*）依次围成一个圆圈其中a1，a2，a3，ak1，ak（km，kN*）是公差为d的等差数列，而a1，am，am1，ak+1，ak是公比为2的等比数列（1）若a1=d=2，k=8，求数列a1，a2，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=2，m2015，求m的最大值；（3）是否存在正整数k，满足a1+a2+ak1+ak=3（ak+1+ak+2+am1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由【
23、考点】数列与不等式的综合；数列的求和【分析】（1）依题意ak=16，故数列a1，a2，am即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，即可得出（2）由数列an满足a1=d=2，利用等差数列的通项公式可得ak=2k而a1，am，am1，ak+1，ak是首项为2、公比为2的等比数列知，故有2k=2m+2k，k=2m+1k，即k必是2的整数次幂，由k2k=2m+1知，要使m最大，k必须最大，又km2015，故k的最大值210，即可得出（3）由数列an是公差为d的等差数列知，ak=a1+（k1）d，而a1，am，am1，ak+1，ak是公比为2的等比数列，a1+（k1）d=，又a1+
24、a2+ak1+ak=3（ak+ak+1+am1+am），am=2a1，显然k6，则，所以k6，代入验证即可得出【解答】解：（1）依题意ak=16，故数列a1，a2，am即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时m=10，Sm=84（2）由数列an满足a1=d=2，是首项为2、公差为2的等差数列知，ak=2k，而a1，am，am1，ak+1，ak是首项为2、公比为2的等比数列知，故有2k=2m+2k，k=2m+1k，即k必是2的整数次幂，由k2k=2m+1知，要使m最大，k必须最大，又km2015，故k的最大值210，从而21021024=2m+1，m的最大值是1033（3）由数列an是公差为d的等差数列知，ak=a1+（k1）d，而a1，am，am1，ak+1，ak是公比为2的等比数列，故a1+（k1）d=，又a1+a2+ak1+ak=3（ak+ak+1+am1+am），am=2a1则，即，则，即k2m+1k+k=62m+1k12，显然k6，则所以k6，将k=1，2，3，4，5一一代入验证知，当k=4时，上式右端为8，等式成立，此时m=6，综上可得：当且仅当m=6时，存在k=4满足等式2017年1月15日