1、第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础知识整合1导数的概念(1)f(x)在xx0处的导数就是f(x)在xx0处的瞬时变化率，记作：y|xx0或f(x0)，即f(x0) .(2)当把上式中的x0看作变量x时，f(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即yf(x) .2导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方程为yy0f(x0)(xx0).3基本初等函数的导数公式(1)C0(C为常数)；(2)(xn)nxn1(nQ*)；(3)(sinx)cosx；(4)(cos
2、x)sinx；(5)(ax)axln_a；(6)(ex)ex；(7)(logax)；(8)(ln x).4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x).(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).特别地：Cf(x)Cf(x)(C为常数)(3)(g(x)0).5复合函数的导数设函数u(x)在点x处有导数u(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yf(u)，则复合函数yf(x)在点x处也有导数yxfuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1f(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同2f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3可导奇函数的
3、导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”5两类切线问题的区别(1)“过”与“在”：曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点1(2019全国卷)曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切
4、线方程为()Axy10B2xy210C2xy210Dxy10答案C解析设yf(x)2sinxcosx，则f(x)2cosxsinx，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C2(2019天津一模联考)已知f(x)logax(a0，且a1)，f(1)1，则a()A1B2CeD10答案C解析f(x)logax，f(x)，则f(1)，1，解得ae，故选C3若曲线yexaxb在点(0,2)处的切线l与直线x3y10垂直，则ab()A3B1C1D3答案A解析因为直线x3y10的斜率为，所以切线l的斜率为3，即y|x0e0a1a3，所以a2；又曲线过点(0,2)，所以
5、e0b2，解得b1.所以ab3.故选A4(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_.答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.5有一机器人的运动方程为st2(t是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为_.答案解析s(t)t2，s(t)2t.机器人在时刻t2时的瞬时速度为s(2)4.6(2019郑州模拟)直线x2ym0与曲线y相切，则切点的坐标为_.答案(1,1)解析yx，yx，令yx，则x1，则y1，即切点坐标为(1,1)核心考向突破考向一导数的概念例1利用导数定义求函数f(x)在x1处的
6、导数解y1， ，函数y在x1处的导数为.导数定义探究(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率当x0时极限是否存在(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量y，再算比值，再求极限y .(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是x，也可是2x，x等，做题要将分子分母中增量统一为一种(4)导数定义 f(x0)，也即 f(x0)即时训练1.设f(x)x38x，则(1) _；(2) _.答案(1)4(2)4解析f(x)x38x，f(x)3x28，(1) f(2)4.(2) f(2)4.考向二导数的基本运算例2求下列函数的导数：(1)y；(2)yx；(3)ysin3xsin3
7、x；(4)y.解(1)y.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)y(sin3x)(sin3x)3sin2xcosx3cos3x.(4)y(2x1)33(2x1)426(2x1)4.导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导即时训练2.求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sinx
8、；(3)y；(4)y.解(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)y(12x)(12x)(2)(12x).(4)y.精准设计考向，多角度探究突破考向三导数的几何意义角度求切线的方程例3(1)(2019四川成都模拟)曲线yxsinx在点P(，0)处的切线方程是()Ayx2Byx2Cyx2Dyx2答案A解析因为yxsinx，所以ysinxxcosx，在点P(，0)处的切线斜率为ksincos，所以曲线yxsinx在点P(，0)处的切线方程是y(x)x2.故选A(2)(2
9、019河北质检)已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值是()AeBeCD答案C解析依题意，设直线ykx与曲线yln x切于点(x0，kx0)，则有由此得ln x01，x0e，k.故选C(3)若直线l与曲线yex及yx2都相切，则直线l的方程为_.答案yx1解析设直线l与曲线yex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线yx2的切点为，因为yex在点(x0，e x0)处的切线的斜率为y|xx0e x0，y在点处的切线的斜率为y|xx1|xx1，则直线l的方程可表示为ye x0xx0ex0e x0或yx1xx，所以所以e x01x0，解得x00，所以直线l的方程为yx1.求曲线的切线方程的两
10、种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步，写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程角度求切点的坐标例4(1)(2019陕西模拟)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P
11、处的切线垂直，则点P的坐标为()A(1,1)B(1，1)C(1，1)D(1,1)答案A解析对yex求导得yex，令x0，得曲线yex在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y(x0)上点P处的切线斜率为1，由y1，得x1，则y1，所以点P的坐标为(1,1)故选A(2)(2019衡水调研)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A3B2C1D答案A解析设切点坐标为(x0，y0)，且x00，由yx，得kx02，x03.故选A求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐
12、标角度导数与函数图象例5(1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析f(x)0，函数yf(x)是增函数，又f(x)在(1,0)是增函数，在(0,1)是减函数，f(x)的斜率在(1,0)越来越大，在(0,1)越来越小，故选B(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.答案0解析由题可知则k，即f(3)，又g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，则g(3)f(3)3f(x)0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主
13、要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况即时训练 3如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由导函数图象可知两函数的图象在x0处切线斜率相等，故选D4(2019天津高考)曲线ycosx在点(0,1)处的切线方程为_.答案yx1解析ysinx，将x0代入，可得切线斜率为.所以切线方程为y1x，即yx1.5若曲线yxln x上点
14、P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.答案(e，e)解析设点P(x0，y0)，yxln x，yln xx1ln x曲线yxln x在点P处的切线斜率k1ln x0.又k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.点P的坐标是(e，e)6若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln (x1)的切线，则b_.答案1ln 2解析直线ykxb与曲线yln x2，yln (x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yln x2得y，由yln (x1)得y，k，x1，x21，y1ln k2，y2ln k.即A，B，A，B在直线ykxb上，考向四求参数的值或取值
15、范围例6(1)(2019沈阳模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值为()A1B2C5D1答案A解析由题意可得3k1,31ab，则k2.又曲线的导函数y3x2a，所以3a2，解得a1，所以b3，所以2ab1.故选A(2)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1Dae1，b1答案D解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D(3)(2019成都二诊)若曲线yf(x)ln xax2(a
16、为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()ABC(0，)D0，)答案D解析f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)故选D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上即时训练7.已知函数f(x)ax22bln x，若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx26ln 2，则ab()A2B1C2D1答案A解析由切线方程，得f(2)46ln 2，f(2)1.f(x)ax22bl
17、n x，f(x)2ax，解得a1，b3，ab2.故选A8已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1B3C4D2答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.故选D9(2019武汉一模)已知a为常数，若曲线yax23xln x上存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是_.答案解析由题意知曲线上存在某点的导数值为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.
