1、第十二章 算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理基础知识整合1合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)2演绎推理(1)定义：从一
2、般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理(3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式“三段论”的结构大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示大前提M是P；小前提S是M；结论S是P1合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确2合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理1“对数函数是非奇非偶函数，f(x)log2|x|是对数函数，因此f(x)log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A结论正确 B大前提错误C小
3、前提错误 D推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如ylogax的函数才是对数函数故选C.2某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是()A10日和12日 B2日和7日C4日和5日 D6日和11日答案D解析这12天的日期之和，S1278，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天的值班日期之和是22，因此这两天是10日和12日，
4、故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天的值班日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日故选D.3(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为
5、乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，不符合题意；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙故选A.4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案18解析因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方所以它们的体积比为18.5(2019银川模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并
6、依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_答案解析由图知第1个图形的小正方形的个数为1，第2个图形的小正方形的个数为12，第3个图形的小正方形的个数为123，第4个图形的小正方形的个数为1234，则第n个图形的小正方形的个数为123n.6已知2，3，4，若 6(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_.答案41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n，所以当n6时，a6，t35，at41.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一归纳推理角度数字的归纳例1(2019河南八市联盟模拟)已知数列an的前n项和为Snn2n，将该数列按下列格式(第n行有2n1个数)排成
7、一个数阵，则该数阵第8行从左向右的第8个数为()A142 B270 C526 D1038答案B解析由题意，得Snn2n，当n1时，a12；当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，所以an2n，又由数阵，知每一行的项数依次构成数列1,2,4,8，构成首项为1，公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和公式，得该数阵第8行从左到右的第8个数为数列an的第8135项，所以该数为a1352135270，故选B.角度式子的归纳例2(2019大连二模)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式为_答案1解析观察题中等式，可得规律为等式左边共有2n项且等式左边的分母分别为1,2，2n，分子均
8、为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1；等式右边共有n项且分母分别为n1，n2，2n，分子为1，即为.所以第n个等式为1.角度图形的归纳例3(2019重庆模拟)如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，则在第二十个拐弯处的正整数是_答案211解析观察图可知，第一个拐弯处211，第二个拐弯处4112，第三个拐弯处71123，第四个拐弯处1111234，第五个拐弯处16112345，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是112320211.归纳
9、推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号即可(2)与式子有关的归纳推理与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后即可与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(3)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性即时训练1.(2019咸阳模拟)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5a11的值为()A528 B1020 C1038 D104
10、0答案D解析第一行数字之和为a11211，第二行数字之和为a22221，第三行数字之和为a34231，第四行数字之和为a48241，第n行数字之和为an2n1，a5a11242101040.故选D.2(2019日照模拟)有下列各式：11，1，12，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为_答案1(nN*)解析观察各式，左边为的和的形式，项数分别为3,7,15，故可猜想第n个式子左边应有2n11项，不等式右边分别写成，故猜想第n个式子右边应为，故按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1(nN*)3如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，1)处标b2，点
11、(0，1)处标b3，点(1，1)处标b4，点(1,0)处标b5，点(1，1)处标b6，点(0,1)处标b7，以此类推，则b963处的格点的坐标为_答案(16,13)解析观察已知点(1,0)处标b1，即b11，点(2,1)处标b9，即b33，点(3,2)处标b25，即b55，由此推断点(n，n1)处标b(2n1)(2n1)，因为9613131，n16，故b961处的格点的坐标为(16,15)，从而b963处的格点的坐标为(16,13)考向二类比推理例4(1)(2020河北正定摸底)已知a，b，c是ABC的内角A，B，C对应的三边，若满足a2b2c2，即221，则ABC为直角三角形，类比此结论可知
12、，若满足anbncn(nN，n3)，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D以上都有可能答案A解析由题意，知角C最大，anbncn(nN，n3)即nn1(nN，n3)，又ca，cb，所以22nn1，即a2b2c2，所以cosC0，所以0Cx，解得x4，即x5，该小组人数的最小值为54312.1将圆周20等分，按照逆时针方向依次编号为1,2，20，若从某一点开始，沿圆周逆时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，称这种走法为一次“移位”，如：小明在编号为1的点，他应走1段弧长，即从12为第一次“移位”，这时他到达编号为2的点，然后从234为第二次“移位”，若某人从编号为
13、3的点开始，沿逆时针方向，按上述“移位”方法行走，“移位”a次刚好到达编号为16的点，又满足|a2020|的值最小，则a的值为()A2019 B2020 C2021 D2022答案C解析若某人从编号为3的点开始，第一次“移位”到达6；第二次“移位”到达12；第三次“移位”到达4；第四次“移位”到达8；第五次“移位”到达16；第六次“移位”到达12；第七次“移位”到达4；第八次“移位”到达8；第九次“移位”到达16；第十次“移位”到达12；从第二次开始，每4次“移位”为一组“移位”循环，“移位”a次刚好到达编号为16的点，则a1应该能被4整除，又满足|a2020|的值最小，则a2021.故选C.
14、2(2019漳州模拟)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_答案5解析因为x4x5x6x711010010110，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2x3x6x71001101110，所以二元码1101101的第6、7位
15、码元也是对的；因为x1x3x5x710111110110，所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以k5.答题启示与推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当地转化，注意推理过程的严密性对点训练1(2019重庆模拟)我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金
16、为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问此人总共持金多少则在此问题中，第5关收税金()A斤 B斤 C斤 D斤答案B解析假设原来持金为x，则第1关收税金x；第2关收税金xx；第3关收税金xx；第4关收税金xx；第5关收税金xx.依题意，得xxxxx1，即x1，x1，解得x，所以x.故选B.2在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如：图中的ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaN bLc，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)答案(1)3,1,6(2)79解析(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，四边形DEFG的面积为3，所以S3，N1，L6.(2)由待定系数法可得当N71，L18时，S17118179.1cos2cos2.