1、山西省晋中市祁县第二中学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一：选择题.1.已知直线 与直线平行，则它们之间的距离是( )A. 1B. C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意两直线平行，得，由直线可化为，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】由题意直线与直线平行，则，即，则直线可化为，所以两直线之间的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知两直线与平行，则 （ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】
2、直线与平行，且故选D点睛：（1）当直线的方程存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意的系数不能同时为零的这一隐含条件；（2）在判断两条直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.3.已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）A. 24B. 20C. 0D. 【答案】B【解析】两直线互相垂直，k1k21，1，m10.又垂足为(1，p)，代入直线10x4y20得p2，将(1，2)代入直线2x5yn0得n12，mnp20.故答案选B。4.直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
3、把直线方程整理为后可得直线所过的定点.【详解】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，故选C.【点睛】一般地，动直线所过的定点为直线的交点.解题中注意对含参数的直线方程进行化简.5.已知直线和平面，则下列四个命题中正确的是 （ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析】利用面面垂直，面面平行和线面平行的性质，逐项判定，即可得到答案.【详解】由题意，对于A中，若，则与可能平行，所以不正确；对于B中，若，则与可能是相交的，所以不正确；对于C中，若，则可能在内，所以不正确；对于D中，根据面面平行的性质，可得若，则是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了面面垂直，面面平行
4、和线面平行的性质的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下面四个命题：（1）若，则 （2）若,则（3）若，则 （4）若，则其中正确命题个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】用线、面平行垂直的判定定理可直接判断出本题命题的正确与否。【详解】（1）若为正方体相邻的三个面，两两垂直，故（1）错；（2）根据若需得到则需要同时垂直两平面的交线，故（2）错；（3）根据，若需证，则需共面，故（3）错；（4）若，则，根据由面面平行证线线平行的判定定理可得该命题正确，故（4）正确。综上，
5、以上命题只有一个命题正确，故选A。【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系：考查线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，熟记这些是解题的关键。7.如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A. 1+B. 2+C. 1+D. 【答案】B【解析】【分析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为1+，高为2，因此面积为选B.【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（ ）A. B. C. D.
6、【答案】A【解析】【分析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.【详解】由三视图可知其直观图，该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.9.如图是各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】先由题意确定其侧视图为矩形，求出矩形的长和宽，即可得出结果.【详解】由题意可得，侧视图是个矩形，由已知，底面正三角形边长为2，所以其高为，即侧视图的宽为，又三棱柱的高为2，即侧视图的长为2，所以三棱柱侧视图的面积为.故选B【点睛】本题
7、主要考查几何体的三视图，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.10.一个平面载一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离为4cm，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据球的性质知，球的半径，再利用球的体积公式，即可求解，得到答案【详解】设球的半径为 ，根据球的性质知，球的半径，又由球的体积公式，可得.故选：C【点睛】本题主要考查了球的截面性质，以及球的体积的计算，其中解答中根据球的截面的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为（）A. ，B. ，C. ，D.
8、 ，【答案】B【解析】【分析】根据三视图知该几何体是圆柱在中间挖去一个同底等高的圆锥，结合图中数据，即可求出它的体积和表面积【详解】解：根据三视图知，该几何体是圆柱，在中间挖去一个同底等高的圆锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V=121-121=；表面积为：S=12+211+1=（3+）故选：B【点睛】本题主要考查了几何体三视图的应用问题，几何体的体积以及表面积的计算，是基础题12.中国古代数学家名著九章算术中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：该题属于已知几何体的三视图，求其外接球的表面积
9、问题，把三棱柱补成长方体，则长方体的对角线长等于外接球的直径，从而求得结果.详解：由已知可得该“堑堵”是一个半个长方体的直三棱柱，且长宽高分别是，该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球，而长方体的对角线是，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为，故选B.点睛：解决该题的关键是将根据三视图将几何体还原，从而得到该几何体是半个长方体的三棱柱，利用长方体的外接球的特征求得结果.二：填空题.13.长方体中，则与平面所成的角的大小为_【答案】【解析】【分析】连结 、，由 平面ABCD，得 是 与平面ABCD所成角，面面ABCD，即为所求，由此能求出与平面ABCD所成角的大小。【详解】根据题意画
10、出图形如图，连结BD、 ，因为长方体 中，平面ABCD,垂足为D， 与平面ABCD所成角，面面ABCD，即为所求.， ，, ， 。 与平面所成角的大小为。故答案为:。【点睛】本题考查立体几何中线面角的求解，重点是将线面角转化成线线角，也可采用空教坐标系解决。14.过点(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_【答案】【解析】分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.详解：当截距为0时,直线的方程为，满足题意；当截距不为0时,设直线的方程为,把点代入直线方程可得，此时直线方程为.故答案为.点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围
11、；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.15.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_.【答案】【解析】【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理得 ，即得此圆锥高的值。【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形,所以，得 ,解之得，因此,此圆锥的高，故答案为:。【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质
12、和旋转体侧面展开等知识，属于基础题。16.若点在直线上，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意，可得表示直线上的点到原点的距离的平方，根据点到直线距离公式，即可求出最小值.【详解】因为表示点到原点距离的平方，又点在直线上，所以当点与原点连线垂直于直线时，距离最小，即最小；因为原点到直线的距离为，所以.即有最小值.故答案为：【点睛】本题主要考查直线上的点与原点距离最值的问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.三：解答题.17.已知直线与直线的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.【答案】【解析】【分析】根据题意可设直线l的方程为：3x+4y+m=0，令x=
13、0，得y=-；令y=0，得x=-，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|-|-|=6，解得m=12，进而得到直线方程.【详解】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，令x=0，得y=-；令y=0，得x=-直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|-|-|=6，解得m=12直线l的方程为3x+4y12=0【点睛】这个题目考查了斜率相同的直线方程的设法，较为简单.18.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面是的中点 （）求证：； （）证明： 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由线线平行得出线面平行；（2）由线面垂直的判定定理证出BD平面PAC，再由线面垂直的性质证得。试题解析证：（）
14、连结AC交BD于O，连结OE， 因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点 又因为E是PA的中点，所以PCOE， 因为PC平面BDE，OE平面BDE， 所以PC平面BDE （）因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC 因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD， 所以PABD 又ACPA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC 又CE平面PAC， 所以BDCE19.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，,平面BB1C1C底面ABCD，点、F分别是线段、BC的中点（1）求证：AF/平面；（2）求证：平面BB1C1C平面【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）欲证
15、AF/平面，则需证明平行于平面内一条直线，根据题目条件易得边上的中线与平行，从而得证。（2）需证面面垂直，则需证明线面垂直，易证边上的中线垂直于且，该中线垂直于，从而得到线面垂直，得到面面垂直。【详解】（1）方法一：取中点，连分别为中点 为四棱柱又为的中点， 所以四边形PFAM为平行四边形又，方法二：取中点,连 ，又， ，又是四棱柱，又，又，又， （2），又， ， 又， 而， 又， ， 又.【点睛】本题考查线面垂直平行的判定与性质，全部转化到证明线线垂直或平行，证明线线平行通常采用三角形中位线或平行四边形对边进行证明，证明线线垂直通常利用平行的传递性或者勾股定理数据计算证明。20.如图，在四棱
16、锥中，平面平面,点、分别为、的中点.1求证:平面平面；2求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；2.【解析】【分析】（1）先证明平面，平面，再利用面面平行的判定定理，即可证明；（2）利用等体积法，可得，利用，即可求得【详解】1由题意知: 点是的中点,且,所以 ,所以四边形是平行四边形,则. 平面,平面,所以平面. 又因为、分别为、的中点,所以.平面,平面,所以, 平面. ,所以平面平面. （2）解法一：利用因为平面平面,平面平面，平面ABCD,所以，平面.所以，的长即是点到平面的距离.在中，,所以，, 所以. 解法二：利用. .【点睛】本题考查面面平行的证明和等体积法的应用，难点在于利用进行
17、求解体积，属于中档题21.直线经过两直线与的交点，且与直线：平行.（1）求直线的方程；（2）若点到直线的距离与直线到直线的距离相等，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1：x+y-6=0的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案；（2）直接由点到直线的距离公式求得a的值试题解析：（1）解得，即交点坐标为.直线：的斜率为，直线的斜率为直线的方程为，即.（2）由题知，整理得，解得或.22.在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y10，A的角平分线所在直线的方程为y0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标【答案】,【解析】试题分析：由题意，点是直线与直线的交点，列出方程组即可求出点坐标，由直线及x轴是A的平分线，可求出AC边所在的直线方程，再根据BC边上的高求出BC边所在的直线方程，解出AC边所在的直线方程和BC边所在的直线方程组成的方程组，即可求得点坐标.试题解析：由方程组解得点A的坐标为(1,0)又直线AB的斜率kAB1，x轴是A的平分线，所以kAC1，则AC边所在的直线方程为y(x1)又已知BC边上的高所在直线的方程为x2y10，故直线BC的斜率kBC2，所以BC边所在的直线方程为y22(x1)解组成的方程组得即顶点C的坐标为(5，6)
