1、第五章 数 列 知识点 考纲下载 数列 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数知识点考纲下载等差数列1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系知识点考纲下载等比数列1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系数列求和 掌握等差、等比数列前n项和公式.第1课时 数列的概念与简单表示 1数列
2、的概念按照_排列着的一列数称为数列，一般用_表示一定顺序an2数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数_ 无穷数列 项数_ 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an1_an 递减数列 an1_an 常数列 an1an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 有限无限其中nN*3.数列与函数的关系(1)从函数观点看，数列可以看成是以_为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列_(2)数列同函数一样有_、_、_三种表示方法函数值正整数集N*(或N*的有限子集1,2,3，n)解析法图象法列表法4数列的通项公式如果数
3、列an的第n项an与_之间的关系可以用一个公式_来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式序号nanf(n)【思考探究】一个数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列1,1，1,1，的通 项公式可以 是 an(1)n 或 an1n为正奇数，1n为正偶数，有的数列没有通项公式5数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式1下列说法正确的是()A数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7B数列 1,0，1，2 与数列2，1,0,1是相同的数列C数列n1n的第
4、k 项为 11kD数列 0,2,4,6，可记为2n解析：根据数列的定义与集合定义的不同可知 A，B 不正确，D 项2n中的 nN*，故不正确，C 中 ann1n，ak11k.答案：C2已知数列 3，7，11，15，则 5 3是数列的()A第 18 项 B第 19 项C第 17 项D第 20 项解析：7311715114，即 a2na2n14，a2n3(n1)44n1，令4n175，则 n19.故选 B.答案：B3若 Sn 为数列an的前 n 项和，且 Sn nn1，则 1a5()A.56 B.65 C.130 D30解析：当 n2 时，anSnSn1 nn1n1n 1nn1，所以 1a5563
5、0.答案：D4已知数列n2n21，则 0.98 是它的第_项解析：n2n210.984950，n7.答案：75数列an中，an1n n1，Sn9，则n_.解析：an1n1 n n1 n，Sn(2 1)(3 2)(n1n)n119.n99.答案：99 由数列前几项求数列通项1据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，
6、对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整3观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)12，34，78，1516，3132，；(3)23，1，107，179，2611，3713，；(4)3,33,333,3 333，.解析：(1)各项是从4开始的偶数，所以an2n2.(2)每一项分子比分母少 1，而分母可依次写为21,22,23,24,25，故所求数列的一个通项公式可写为 an2n12n.(3)带有正负号，故每项中必须含
7、有(1)n1 这个因式，而后去掉负号，观察可得将第二项1 写成55.分母可化为 3,5,7,9,11,13，为正奇数，而分子可化为 121,221,321,421,521,621，故其一个通项公式可写为：an(1)n1n212n1.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，分母都是 3，而分子分别是 101,1021,1031,1041，所以 an13(10n1)【变式训练】1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，(2)0.8,0.88,0.888，(3)12，14，58，1316，2932，6164，(4)0,1,0,1，解析：(1)符
8、号问题可通过(1)n 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5)(2)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n.(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第2,3,4 项的绝对值的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为232，至此原数列已化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.(4)an0n为正奇数1n为正偶数 或 an11n2或 an1cos n2.由递推公式求数列通项公式1已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系
9、列出来，抓住它们的特点进行适当处理，有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题2由 an 与 Sn 的关系求 an由 Sn 求 an 时，要分 n1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不 能，则 用 分 段 函 数 的 形 式 表 示 为 an S1 n1SnSn1n2.根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，求 an.(2)a11，ann1n an1(n2)；(3)已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n1.解析：(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an
10、(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)5223n12nn3n12(n2)当 n1 时，a112(311)2 符合公式，an32n2n2.(2)ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，a212a1.以上(n1)个式子相乘得ana11223n1n a1n1n.(3)当 n1 时，a1S12123110；当 n2 时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又 n1 时，an4151a1，an0，n1，4n5，n2.【变式训练】2.由下列数列an的关系求数列an的通项公式，(1)a11，anan1n(n2)；(2)已知数列an前 n 项和为
11、 Sn，且 Sn25n2.解析：(1)由题意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.将上述各式累加得，ana1n(n1)32，即 ann(n1)321nn12，故 annn12.(2)当 n1 时，a1S12528.当 n2 时，anSnSn125n225n1285n1.当 n1 时也适合 an，故 an85n1.数列的性质1因为数列可以看作是一类特殊的函数，因而数列也具备一般函数应具备的性质2求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用anan1anan1 或anan1anan1，也可以转化为函数最值问题或利用数形结合(2010山东卷)设an是首项大于零的等比
12、数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解析：设an的首项为 a1，公比为 q，若a1a2，则 q1，从而有 a1qn1a1qn，即anan1，因此an是递增的等比数列；反之，若an是递增数列且 a10，则必有 q1，故a1a2，因此选 C.答案：C【变式训练】3.已知数列an满足 an111an，若 a112，则 a2 011()A.12B2C1 D1解析：由 a112，an111an得 a211a12，a311a21，a411a312，a511a42，于是 a3n112，a3n22，a3n31，因此 a2
13、 011a3670112，故选 A.答案：A1数列的概念及简单表示数列中的数是有序的，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同；数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解数列an可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集1,2,3，n的一列函数值2由数列的前几项归纳出其通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征：(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征和绝对值特征并对此进行归纳、化归、联想3由递推公式求数列中的项或通项递推公式是给出数列的一种方式，读懂递推公式，搞清相邻项之间的关系，或由两项之间的关系构造数列，求出其
14、通项公式4Sn 与 an 的关系由 Sn 求 an，anS1 n1SnSn1n2，注意验证a1 是否包含在后面 an 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑上述公式通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，本节主要考查数列的项、项数、求通项公式、an与Sn的关系，由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列，或与函数的周期性等有关的问题(本小题满分 12 分)(2010福建卷)数列an中，a113，前 n 项和 Sn 满足 Sn1Sn13n1(nN*)(1)求数列an的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn；(2)若 S1，t(S1S2
15、)，3(S2S3)成等差数列，求实数 t 的值【规范解答】(1)由 Sn1Sn13n1 得 an113n1(nN*).2 分又 a113，故 an13n(nN*).3 分从而 Sn13113n11312113n(nN*).6 分(2)由(1)可得 S113，S249，S31327.8 分从而由 S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差数列得133491327 21349 t，解得 t2.12 分【阅后报告】解答本题的难点是由 Sn1Sn 得 an1，从而转化为等比数列，便可求解1(2010陕西卷)对于数列an，“an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分
16、不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由 an1|an|可得 an1an.an是递增数列“an1|an|”是“an为递增数列”的充分条件当数列an为递增数列时，不一定有 an1|an|，如：3，2，1,0,1，.“an1|an|”不是“an为递增数列”的必要条件答案：B2(2010辽宁卷)已知数列an满足 a133，an1an2n，则ann 的最小值为_解析：由 an1an2n，得 anan12(n1)，an1an22(n2)，a2a12.将这 n1 个式子累加得 ana12n11n12n2n.a133，ann2n33，ann n2n33nn33n 1.当 n6 时，ann 有最小值212.答案：2123(2009北京卷)已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则 a2 009_；a2 014_.解析：a2 009a503431，a2 014a21 007，a1 007a425210.答案：1 0练规范、练技能、练速度