1、第7讲 二次函数 第7讲 二次函数 知识梳理 第7讲 知识梳理 f(x)ax2bxc(a0)f(x)a(xm)2n(a0)f(x)a(xx1)(xx2)(a0)1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：_；(2)顶点式：_；(3)两根式：_.2二次函数f(x)ax2bxc(a0)配方法的步骤(1)f(x)_；(2)f(x)_ax b2a24acb24a.二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为_，顶点坐标是_；当a0时，开口向上，当a0时，开口向下ax2bax cax b2a2b24ac x b2a b2a，4acb24a第7讲 知识梳理 递减递增递增递减|x1x2
2、|3二次函数的单调性及最值(1)当a0时，函数在，b2a 上_，在 b2a，上_，并且当x b2a时，f(x)min_.(2)当a0时，函数在，b2a 上_，在 b2a，上_，当xb2a时，f(x)max_.4根与系数的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时，图像与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的x1，x2是方程f(x)0的两根，则根与系数的关系是_弦长|M1M2|_|a|.4acb24a4acb24ax1x2ba，x1x2ca第7讲 知识梳理 f(q)f(p)5二次函数在闭区间上的最值若a0，二次函数f(x)在闭区间p，q上的最大值为M，最小值为N
3、.令x012(pq)，(1)若 b2ap，则M_，N_；(2)若 b2aq，则M_，N_；(3)若p b2ax0，则M_，N_；(4)若x0 b2aq，则M_，N_.f(p)f(q)f(q)f b2af(p)b2a6一元二次不等式的解集与二次方程ax2bxc0的根的关系(1)若a0，方程ax2bxc0有两个不等的实根x1，x2(x10的解集为_；不等式ax2bxc0，方程ax2bxc0有两个相等的实根x0，则不等式ax2bxc0，方程ax2bxc0无实根，则不等式ax2bxc0的解集为_；不等式ax2bxc0的解集为_第7讲 知识梳理 x|xx2 x|x1xx2 R要点探究 探究点1 求二次函
4、数的解析式第7讲 要点探究 思路 已知函数类型，利用待定系数法求解例1 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式第7讲 要点探究 解法一：用一般式求解设 f(x)ax2bxc(a0)，由题意可得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7，f(x)4x24x7.解法二：用顶点式求解设 f(x)a(xh)2k，f(2)f(1)1，h212 12，又 f(x)的最大值为 8，因此 f(x)ax1228，f(2)9a4 81，解得 a4，f(x)4x24x7.解法三：用两根式求解f(2)f(1)1，2，1 是方程 f(x)10
5、 的两根，因此设 f(x)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a1，f(x)的最大值为 8，4a2a1a24a8，解得a4，f(x)4x24x7.第7讲 要点探究 点评 二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式，顶点式及两根式，一般情况下，若给出抛物线过某三个点，则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式；当给出抛物线与x轴的两交点坐标，一般选用两根式学会根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算，如：第7讲 要点探究 (1)已知函数f(x)2x2bxc，当3x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，则b_，c_.答案 2 12解析由题意可知，3,2是函数f(x)的两个
6、零点，f(x)2x2bxc2(x3)(x2)2x22x12，b2，c12.第7讲 要点探究(2)二次函数f(x)，对任意的x都有f(x)f(1)2恒成立，且f(0)1，则f(x)_.答案 3x26x1 解析由题意可知，f(x)在x1处有最小值2，因此设f(x)a(x1)22，又f(0)a21，得a3，f(x)3(x1)223x26x1.第7讲 要点探究(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(x1)2f(x1)x22x17，则f(x)_.答案 x24x28 解析设f(x)ax2bxc，则f(x1)2f(x1)ax2(2ab)x(abc)2 ax2(2ab)x(abc)ax2(6ab)x(a3bc
7、)，又f(x1)2f(x1)x22x17，a1，6ab2，a3bc17，解得a1，b4，c28，f(x)x24x28.探究点2 区间上的二次函数的最值例2 试求二次函数f(x)x22ax3在区间1,2上的最小值第7讲 要点探究 思路二次函数图像的对称轴为xa，要求函数在区间1,2上的最小值就需要看对称轴与1,2的位置关系，为此需结合二次函数的图像对a进行分类讨论第7讲 要点探究 解答 f(x)x22ax3(xa)23a2.当a1时，函数在区间1,2上为增函数，故此时最小值为f(1)2a4；当1a2，即2a1时，函数的最小值为f(a)a23；当a2，即a2时，函数在区间1,2上为减函数，此时最小
8、值为f(2)4a7.综上可知，当a1时，最小值为2a4.第7讲 要点探究 点评 求二次函数的值域或最值，常用方法是配方法二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得；如果解析式中含参数，需要对参数进行分类讨论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的图像利用二次函数的单调性处理反之，如果知道二次函数的最值，也可以求参数的取值范围，如下面的变式题第7讲 要点探究 已知函数f(x)x22ax1a在0 x1上有最大值2，求a的值思路 f(x)配方后，得对称轴xa是变动的，要区分对称轴xa在区间0,1内和外，确定f(x)的最大值，从而建立方程解出a.解答 f(x)x22ax1a(xa)2a
9、2a1，0 x1，当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，a2a12，解得a1 52.0a1，a1 52舍去；当a1时，f(x)maxf(1)a21成立；当a0时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a10成立综上可得a1或a2.探究点3 二次函数的综合应用第7讲 要点探究 思路 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解例3 已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1)若a1，作函数f(x)的图像；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式解答(1)当 a1 时，f(x)x2|x|1x2x1，x0，x2x1，x0.函数图像如下图所示：第7讲 要点探究(
10、2)当 x1,2时，f(x)ax2x2a1.若 a0，则 f(x)x1 在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3；若 a0，则 f(x)ax 12a22a 14a1，f(x)图像的对称轴是直线 x 12a.当 a0 时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3；当 0 12a12时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2；当 1 12a2，即14a12时，g(a)f12a 2a 14a1；当 12a2，即 0a14时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3，综上可得 g(a)6a3，a12.第7讲 要点探究 第7讲 要点探究 设函数f(x)x2|
11、2xa|(xR，a为实数)(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a2，求函数f(x)的最小值思路 (1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式；(2)利用分段函数的最值的求解方法解决第7讲 要点探究 解答(1)由已知 f(x)f(x)，即|2xa|2xa|，解得 a0.(2)f(x)x22xa，x12a，x22xa，x2，x12a，得 x1，从而 x1，故 f(x)在 x12a 时单调递增，f(x)的最小值为 fa2 a24；当 x12a 时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，故当 1xa2时，f(x)单调递增，当 x0，知 f(x)的最小值为 a1.规律总结 第7讲 规律总结
12、1二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图像特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解2对于一元二次方程实根的分布问题，需要结合二次函数的图像，从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负；(3)对称轴与区间端点的关系，这就要求注意数形结合在解题中的应用第7讲 规律总结 3二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布有关的结论：(1)方程f(x)0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0.(2)二次方程f(x)0的两根都大于rb24ac0，b2ar，afr0.(3)二次方程f(x)0在区间(p，q)内有两根b24ac0，p b2a0，afp0.(4)二次方程f(x)0在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)0，另一根在(p，q)内或f(q)0，另一根在(p，q)内
