1、高考资源网（） 您身边的高考专家阶段质量检测(一)解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc2a，则cos B()A. B.C. D1解析：在ABC中，由余弦定理得cos B，故选B.答案：B2在钝角三角形ABC中，AB，AC1，B30，则角A的大小为()A120 B45C30 D15解析：由于，将AB，AC1，B30代入，求得sin C.又ABC是钝角三角形，所以C120，所以A30.故选C.答案：C3如图，为了测量A，B两点间的距离，在地面上选择适当的点C，测得AC
2、100 m，BC120 m，ACB60，那么A，B的距离为()A20 m B20 mC500 m D60 m解析：由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 6010021202210012012 400，所以AB20(m)，故选B.答案：B4已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，若ABC的周长为2(1)，且sin Bsin Csin A，则a()A. B2C4 D2解析：根据正弦定理，sin Bsin Csin A可转化为bca，ABC的周长为2(1)，即abc2(1)，联立，解得a2，故选B.答案：B5在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos B，那么AB
3、C是()A等腰直角三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等边三角形解析：由正弦定理知sin C2sin Acos B，所以sin(AB)2sin Acos B，所以sin Acos Bcos Asin B2sin Acos B，所以sin(AB)0，所以AB，所以ABC为等腰三角形，故选B.答案：B6ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为()A. B.C. D9解析：设另一条边为x，则x22232223，x29，x3.设cos ，则sin .2R.答案：B7一角槽的横断面如图所示，四边形ADEB是矩形，且50，70，AC90 mm，BC150 mm，则DE的长等于()A
4、210 mm B200 mmC198 mm D171 mm解析：由题图可知，ACB5070120.在ABC中，由余弦定理可得AB2AC2BC22ACBCcosACB902150229015044 100，所以AB210，即DE210 mm.故选A.答案：A8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或解析：(a2c2b2)tan Bac，tan B，即cos Btan Bsin B.0BB，则sin Asin BB在锐角ABC中，不等式sin Acos B恒成立C在ABC中，若acos Abcos B，则ABC必是等
5、腰直角三角形D在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形解析：在ABC中，由acos Abcos B，利用正弦定理可得sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，A，B(0，)，2A2B或2A22B，AB或AB，因此ABC是等腰三角形或直角三角形，因此C是假命题答案：C10设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为三个连续的正整数，且ABC,3b20acos A，则sin A:sin B:sin C为()A4:3:2 B5:6:7C5:4:3 D6:5:4解析：由题意可得abc，且a，b，c为连续的正整数，不妨设cn，bn1，an2(n1
6、，且nN*)，则由余弦定理及3b20acos A可得3(n1)20(n2)，化简得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin A:sin B:sin Ca:b:c6:5:4.答案：D11在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析：由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20，则cos A0.0A，0A.因此角A的取值范围是.答案：D12在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A. B.C. D.解析：设BCa，则BMMC
7、.在ABM中，AB2BM2AM22BMAMcosAMB，即72a24224cosAMB，在ACM中，AC2AM2CM22AMCMcosAMC，即6242a224cosAMB，得72624242a2，所以a.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2，cos B，ABC的周长为5，则b的长为_解析：由正弦定理及2得c2a，因为b2a2c22accos Ba24a24a24a2，所以b2a.又abc5，所以a1，因此b2.答案：214已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若a1，b，AC2
8、B，则sin C_.解析：在ABC中，ABC，AC2B，B.由正弦定理知，sin A，又ab，A，C，sin C1.答案：115甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距2海里，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船用最短的时间追上乙船时，乙船已行驶了_海里解析：如图所示，设甲船在C处追上乙船，并设CAB，由题意及正弦定理，得sin ，30.从而BC2(海里)故甲船用最短的时间追上了乙船时，乙船已行驶了2海里答案：216钝角三角形的三边为a，a1，a2，其最大角不超过120，则a的取值范围是_解析：由题可知边a2所对的角为最大角，且最大角的范围是(90，120，所以
9、可得解得a3.答案：a3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解析：在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，所以ADC120，ADB60在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，所以AB5.18(12分)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2，cos B.(1)若b4，求sin A的值；(2)若ABC的面积SABC4，求b，c的值解析：(1)cos B且0B，sin B.由正弦定理，得sin A.
10、(2)SABCacsin B4，2c4，c5.由余弦定理b2a2c22accos B，得b.19(12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解析：(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，则a2b2c2bc.由余弦定理a2b2c22bccos A，得cos A.又0A180，A120.(2)方法一：由(1)中a2b2c2bc，结合正弦定理，可得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，即(sin Bsin C)2sin Bsi
11、n C.又sin Bsin C1，sin Bsin C，sin Bsin C.0B60，0C60.BC.故ABC是等腰三角形方法二：由(1)得BC60，sin Bsin Csin Bsin(60B)sin(60B)1，又0B60，B30，CB30，故ABC是等腰三角形20(12分)在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且asin Bbsin.(1)求A；(2)若ABC的面积Sc2，求sin C的值解析：(1)asin Bbsin，由正弦定理得sin Asin Bsin Bsin，sin B0，sin Asin，即sin Asin Acos A，化简得tan A，A(0，)，A.(2
12、)A，sin A，由Sc2bcsin Abc，得bc，a2b2c22bccos A7c2，则ac，由正弦定理得sin C.21(12分)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解析：由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10 (海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，
13、在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：救援船到达D点需要1小时22(12分)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量f(ac,2)与向量g(1，b)垂直，且A.(1)求sin A:sin B:sin C；(2)若ABC外接圆的半径为14，求a，b，c.解析：(1)因为向是f(ac,2)与向量g(1，b)垂直，所以fg0，即(ac)12(b)0，所以2bac.设abd，cbd，因为A，所以cos A，根据余弦定理，得，所以db，所以ab，cb，所以a:b:c7:5:3，根据正弦定理，得sin A:sin B:sin Ca:b:c7:5:3.(2)设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理2R，得a2Rsin A21414.由(1)知，a:b:c7:5:3，所以b10，c6.- 10 - 版权所有高考资源网