1、3.2.1 指数概念的扩充一、 教材分析（1）教材的地位与作用本节课是学生在已掌握了对数的定义，对数恒等式，对数式和指数式的互化和指数的运算性质的基础上，进一步研究对数的运算性质，它一方面可以进一步深化学生对数定义，对数与指数的互逆关系的理解与认识，使学生得到较系统的研究逆运算的方法和公式应用的相关技巧，同时也为今后换底公式的推导，对数函数的学习，实际问题的应用打下坚实的基础。因此，本节课的内容对知识起到了铺路石的作用。（2）教学目标1.经历幂概念的自然扩充过程，充分感受分数指数幂规定的合理性，理解分数指数幂的意义；2.能将方根转化成幂的形式；3.激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的价值，感悟
2、数学文化。（3）教学重点、难点重点:理解分数指数幂的概念及表示；难点:分数指数幂的引入二、教学方法遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课我采用引导发现式的教学方法。通过在教学过程中的铺垫、提问，启发学生通过主动思考、合作探究来达到对对数运算性质及应用技巧的发现和接受。三、学习方法“听来的忘得快，看到的记得住，做过的才能会。”让学生充分经历数学知识的形成过程，才能更好地理解记忆相关知识，更重要的是利于学生方法的掌握，思想的形成。1. 类比探究式学习:以整数指数幂的意义推广探究分数指数幂的意义2.合作探究式学习:小组共同探究分数指数幂的意义四、教学手段1.多媒体: 良好的交
3、互性，利于教师引导学生进行合作探究，节省阶梯训练，总结规律等环节的抄题时间，提高教学效率。2.粉笔加黑板:带领学生完成根式与分数指数幂的转化，使学生应用所学知识解决计算问题。五、教学过程（一）、教师主导，提出问题1、推荐书目：R柯朗，H罗宾：什么是数学对于引进新的符号，扩充一个范围，使得在原来范围内成立的规律，在这更大的范围内继续成立，这是数学推广过程的一个特征。2、 “伪造名画案”：二战后期，盟军收复比利时，荷兰保安人员开始搜捕纳粹同党。他们根据一家艺术品公司的档案发现，荷兰画家范米格伦（H. A. Van Meegeren, 1889-1947）曾通过中介将17世纪著名画家弗美尔（J. V
4、ermeer, 1632-1675）的作品“基督与奸妇”出售给纳粹头目戈林。1945年5月29日，范米格伦被控犯有叛国罪而被捕入狱。同年7月12日，范米格伦在狱中声称：“基督与奸妇”是他本人伪造的作品，其他五幅假冒弗美尔真迹的油画也都是他本人的作品！人们普遍认为，范米格伦在撒谎，其目的是逃避叛国罪。为了证明自己，范米格伦在狱中开始伪造弗美尔的作品耶稣和医生们在一起，在伪造的尾声也就是1947年10月12日，范米格伦已经被判伪造名画罪，入狱一年，他拒绝完成最后一道工序“将画变古”。同年12月30日，心脏病突发，死于狱中。直到1976年卡内基-梅隆大学的科学家们采用数学建模的方法完成了证明。范米格
5、伦究竟是否伪造了弗美尔的画？经测定，油画中的铅-210大约每经过22年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。据此，人们获得了油画中的铅含量 P 与年数 t 之间的关系：t5010050010005000P思考：表中相应 P 值的意义究竟是什么呢？（二） 、学生探求，发现问题Q1：请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：Q2:讨论：的意义，是什么数？（三） 、主体互动，研究问题1、合作探究：讨论：的意义，是什么数？指数n-4-3-2-101234幂观察：相邻三个正整数指数幂之间的关系：0、1、2 1、2、41、2、3 2、4、82、3、4 4、8、16 猜想：若在指数0 和1之间插
6、入算术平均数，则对应的幂应该为什么数？小结：（1）若，则称为的次方根。其中为大于1的正整数。（2） 的次幂：一般地，给定正实数a，对于给定的正整数n，存在唯一的正实数b，使得，我们把b叫做a的次幂，记作例如：若已知a3=27则，则我们也可以用分数指数幂表示为2、观察以下式子，并总结出规律：a03、利用上例你能表示出下面的式子吗？，（x0，a0，m，n，且n1，）（四） 、课堂整理，解决问题1、分数指数幂：一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数，存在唯一的正实数，使得bn=am，我们把叫做的次幂，记作，它就是分数指数幂例如：，则；，则注1：（1）我们也把写成，即=（2）正数的负分数指数幂的意义
7、与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：（a0，n），（a0，m，n，且n1）（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、分别将引入中出现的分数指数幂化为根式。（五）、课堂练习，巩固提高例1、把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：（1） （2）（3）例2、求值：(1)；(2)；(3)；(4)拓展问题：19世纪数学家给出无理量的如下定义：“具有分数指数的量称为不尽根，也称为无理量。”你觉得这个定义严谨吗？试说明理由。思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数 后有意义吗？（六）、反思小结，信息反馈1请同学们回顾一下本节课我们主要学习了哪些内容？2除了知识上的收获外，本节课你还学到了什么？A. 伪造名画案B. 幂指数的扩充过程C. 类比的思想方法D. 一节课的小结E. 其他 （七）、作业布置1.正式作业：课本P66，练习3.计算：（1）;（2）;（3）2.（选做）指数概念扩充的发展历史小故事。八、 板书设计3.2.1 指数概念的扩充 例11、2、分数指数幂： PPT显示 例2注：（1） 例3（2） （3）
