1、结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义1奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)_f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)_f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称；(2)考查表达式 f(x)是否等于 f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则 f(x)为奇函数；若f(x)_f(x)，则 f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x
2、)_f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数3奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数思考探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件4周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定
3、义域内的任何值时，都有f(xT)_f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期；如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期思考探究2：如果T是函数 yf(x)的周期，那么kT(kZ)是否一定也是该函数的周期？提示：当k0时，不是；k0时，是1下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，xR Bysinx，xRCyx，xRDy(12)x，xR答案：A2(2010 年豫南九校联考)f(x)1xx 的图象关于()Ay 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称解析：f(x)
4、的定义域为(，0)(0，)，又 f(x)1x(x)1xx f(x)，则 f(x)为奇函数，图象关于原点对称答案：C3(2011年汉台中学)已知定义在R上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1 B0C1D2解析：由f(x2)f(x)知 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，故知函数 yf(x)的周期为4，f(6)f(42)f(2)f(0)f(x)是R上的奇函数，易知 f(0)0，f(6)f(0)0，选B.答案：B解析：y2x3 x0fx x0是奇函数当 x0fxx0，x22x1x0；(3)f(x)4x2|x3|3；【分析】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，
5、则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断 f(x)与 f(x)间的关系(相等还是互为相反数)【解】(1)定义域要求1x1x0 且 x1，10，gxx0，a1)；(4)f(x)0，x为无理数，1，x为有理数.解：(1)由于 f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数(2)f(x)(x1)1x1x，已知 f(x)的定义域为(1,1)，其定义域关于原点对称又 f(x)(x1)1x1x(x1)1x1x1x21x1x 1x1x1x1x21x(1x)1x1x(x1)1x1x f(x)，即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数(3)f(x)的定义域为
6、xR，且 x0，其定义域关于原点对称，并且有f(x)1ax11211ax112 ax1ax121ax11ax12111ax12(1ax112)f(x)，即 f(x)f(x)，f(x)为奇函数(4)函数定义域为 R.若 x 为无理数，则x 也是无理数，f(x)f(x)0；若x为有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1.综上可知，对任意实数x都有 f(x)f(x)f(x)为偶函数考点二 抽象函数的奇偶性与单调性(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单
7、调区间上有相反的单调性例 2 已知函数 f(x)，当 x，yR 时，恒有 f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果 x 为正实数，f(x)0，并且 f(1)12，试求 f(x)在区间2,6上的最值【分析】(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明，只需证 f(x)f(x)0；(2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用【解】(1)证明：函数定义域为 R，其定义域关于原点对称，f(xy)f(x)f(y)，令 yx，f(0)f(x)f(x)，令 xy0，f(0)f(0)f(0)，得 f(0)0.f(x)f(x)0，得 f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)解：解
8、法一：设x，y是正实数，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)x是正实数，f(x)0，f(xy)f(x)0，f(xy)x，f(x)在(0，)上是减函数又 f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)12，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求 f(x)在区间2,6上的最大值为 1，最小值为3.解法二：设 x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0.即 f(x)在 R 上单调递减f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)12，f(2)f(2)2f(1)1f(6)2f(3)2f(1)f(
9、2)3.所求 f(x)在区间2,6上的最大值为 1，最小值为3.变式迁移2 已知y f(x)是定义在R上的偶函数，且 f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0Bf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0解析：x10，|x1|x2|0 x1x2又 f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)又 f(x)为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0 x0 x0时，0f(x)0；(3)求证：f(x)在R上是减函数【解】(1)取 m12，n0，则 f(120)f(12)f(0)，因为 f(12)0，所以 f(0)1.(2)设x0，由条件可知f(x)0，又因为1f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以 f(x)0.所以当xR时，恒有 f(x)0.(3)设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)1f(x2x1)因为x10，所以0f(x2x1)0.又因为f(x1)0，所以f(x1)1f(x2x1)0.所以f(x1)f(x2)0，即该函数在R上是减函数