1、【数学精品】2013版6年高考4年模拟立体几何第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分 六年高考荟萃2012年高考题1.2012重庆卷 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)答案：A解析 如图所示，设ABa，CD，BCBDACAD1，则ACDBCD45，要构造一个四面体，则平面ACD与平面BCD不能重合，当BCD与ACD重合时，a0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在ABC中，ACBACDBCD454590，AB，所以a的取值范围是(0，)2. 201
2、2辽宁卷 一个几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为_答案：38解析 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法解题的突破口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积S长方体表面积圆柱的侧面积圆柱的上下底面面积，由三视图知，长方体的长、宽、高为4、3、1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，所以S2(434131)21121238.3.2012北京卷 某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306 C5612 D6012答案：B解析 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式由三视图可知，几何体为一个
3、侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面5410，S后5410，S左626，S右4510，所以S表1036306.4.2012安徽卷 某几何体的三视图如图13所示，该几何体的表面积是_图13答案：92解析 本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为S424254445492.5. 2012天津卷 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案：189解析 本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象力，容易题由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积V63123189.6
4、.2012福建卷 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥C正方体 D圆柱答案：D解析 本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力，球的三视图大小、形状相同三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱不同7. 2012广东卷 某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A12 B45C57 D81答案：C解析 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆锥的半径R3，圆锥的高h4，圆柱的高为5，所以V组合体V圆柱V圆锥32532457，所以选择C.8. 2012湖北卷 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A
5、. B3C. D6答案：B解析 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以V223.故选B.9.2012湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案：D解析 本题考查三视图，意在考查考生对三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握是基础题型. 选项A，B，C，都有可能，选项D的正视图应该有看不见的虚线，故D项是不可能的易错点 本题由于对三视图的不了解，易错选C，三视图中看不见的棱应该用虚线标出10. 2012课标全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18答案：B解析 由三
6、视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形，有一条长为3的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高为3，故该几何体的体积是V6339，故选B.11.2012浙江卷 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.答案：1解析 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则VSh1321.点评 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等2011年高考题1. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命
7、题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80【答案】C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底
8、面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。故【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。5.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）1第6题图答案：D解析：由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。10.(2011年高考广东卷理科7)如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何
9、体的体积为（ ） A. B. C. D.【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，。所以选B11.(2011年高考陕西卷理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A）（B） （C）（D）【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A) (B) (c) (D)【答案】D【解析】：由圆的面积为得，在 故选D 16(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示
10、，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B C10 D【答案】C1.(2011年高考辽宁卷理科15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。3(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_ 【答案】【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为.4. (2011年高考四川卷
11、理科15)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 答案：解析：时，则6(2011年高考福建卷理科12)三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于_。【答案】7(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】；三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结AF,因为
12、EF，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易证,所以,即,即,又M为AD的中点,所以,又因为D，所以M,所以四边形AMGF是平行四边形,故GMFA,又因为平面,FA平面,所以平面.2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.2.（2010陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是B（A）2（B）
13、1（C）（D）【答案】 B解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为3.（2010辽宁文）（11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）【答案】A【解析】选A.由已知，球的直径为，表面积为4.（2010安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个
14、棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。5.（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】 D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， 所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等6.（2010浙江文）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【答案】B【解析】选B，本题主要考察了对三视图所
15、表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题7.（2010北京文）（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；【答案】 C8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为： 答案：C9.（2010北京理）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若
16、EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关【答案】D10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 【答案】 C11.（2010广东理）6.如图1， ABC为三角形，/, 平面ABC且3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是【答案】D12.（2010广东文）13.（2010福建文）3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A B2 C D6【答案】D【解析】由正视图知：三棱
17、柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 【答案】B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故二、填空题1.（2010上海文）6
18、.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。【答案】96【解析】考查棱锥体积公式2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm【答案】4 3.（2010浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_.解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题4.（2010辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱
19、的长为 .解析：填画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为5.（2010辽宁理）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为6.（2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。由俯视图可知该
20、几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【答案】【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的
21、体积V=2+ = 【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦。三、解答题1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱
22、形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略2.（2010陕西文）18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G
23、,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.3.（2010安徽文）19.(本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则
24、可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 4.（2010四川理）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的
25、公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,
26、MHN为二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小为arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0所以OMAA,O
27、MBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4分(2)设平面BMC的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2) 取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos9分(3)易知，SOBCSBCDA设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dVMOBC12分2009年高考题一、选择题1. 一空间几何体的三视图如图所示,则
28、该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,俯视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+243.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：
29、1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在区间-1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).A. B. C. D. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时, 区间长度为1, 而的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C答案 C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是答案: C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上
30、展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选B7.如图，在半径为3的球面上有三点， 球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 答案 B8若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B二、填空题10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_答案 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_12若某几何体的三视图（单位：
31、）如图所示，则此几何体的体积是 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 答案答案 414. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 15正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 816体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 答案 17如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B 是圆上
32、两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .答案 18.已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_. 答案 19.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_.答案 2三、解答题20（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面. 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为： （）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的
33、性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 20072008年高考题一、选择题1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED答案 A2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为
34、，由题意得，所以，当且仅当时取等号。3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D12答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为3. (2007宁夏理8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）102010202020俯视图侧视图正视图 答案B4. （2007陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B二、填空题11.
35、（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答案 【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且.12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案 【解析】正六边形周长为，得边长为，故其主对角线为，从而球的直径 球的体积.13. （2007天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为答案 14
36、.（2007全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 第二部分 四年联考汇编2012-2013年联考题1【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知,
37、半径为，所以外接球的面积为，选C. 2.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： 若，且则； 若，且.则；若，则mn； 若且n,则m.其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】正确；中当直线时，不成立；中，还有可能相交一点，不成立；正确，所以正确的有2个，选B.3.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ） A1B CD 【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为，是边长为2的正三角形，且，
38、底面为等腰直角三角形，所以体积为，故选B. 图14.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A16B4C8D2【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积，选B.5.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】如图， 在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点
39、E为A1BC1的A垂心B内心C外心D重心【答案】D【解析】如图，,所以,且为的中点，选D.6.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为ABCD32【答案】B【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台，所以表面积为，选B.7.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】设b，c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题正确的是A.若B.若C.若D.若【答案】D【解析】A中，与也有可能异面；B中也有可能；C中不一定垂直平面；D中根据面面垂直的判定定理可知正确，选D.8.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】设直线m
40、、n和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若【答案】D【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D9.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A B C D 【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B正确。【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为）， 则该棱锥的体积是A B C D 【答案】A【解析】由三视图可以看出，此几
41、何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积故此三棱锥的体积为，选A. 10.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记。当为钝角时，则的取值范围是 。【答案】【解析】由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有，则，得，所以，显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是。11.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_.【答案】【解析】因为在正三
42、棱锥ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点.球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥ABC在面ABC上的高.已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥ABC在面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为.12.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为_ 【答案】【解析】如图3，设三棱锥的外接球球心为O，图3半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，M为正
43、的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以.13.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 .【答案】4【解析】由三视图可知，该组合体是由两个边长分别为2,1，1和1,1,2的两个长方体，所以体积之和为。14.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_.【答案】【解析】由三视图可知，该组合体下部是底面边长为2，高为3的正四棱柱，上部是半径为2的半球，所以它的表面积为。15.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 如图为一
44、个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，AB=2,AA=4，则该几何体的表面积为_。 【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高是4.所以该三棱柱的表面积为。16.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）如图，在长方体，中，点在棱AB上移动.（1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何值时，二面角的大小为.【答案】解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则2分（1）4分（2）因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为8分（3）设平面的法向量，由 令，依题意（不合，舍去
45、）， .时，二面角的大小为. 12分17.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）如图6，在长方体中，为中点.（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角的大小为30，求的长. 图6 【答案】解:（1）以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.因为011(1)10，所以B1EAD1.（2）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0
46、，1，z0).又设平面B1AE的法向量n(x，y，z).因为n平面B1AE，所以n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.（3）连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.因为B1CA1D，所以AD1B1C.又由（1）知B1EAD1，且B1CB1EB1，所以AD1平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1).设与n所成的角为，则cos.因为二面角AB1EA1的大小为30，所以|cos|cos30，即，解得a
47、2，即AB的长为2.18.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分） 如图5甲，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB =2, DC=1，BC=，AB =AD=将（图甲）沿直线BD折起，使二面角A BD C为60o（如图乙） （）求证：AE平面BDC; （）求点B到平面ACD的距离【答案】图4（）证明：如图4，取BD中点M，连接AM，ME.因为AB=AD=，所以AMBD， 因为DB=2，DC=1，BC=，满足：DB2+DC2=BC2， 所以BCD是以BC为斜边的直角三角形，BDDC， 因为E是BC的中点，所以ME为BCD的中位线，ME， MEBD，ME=，（2
48、分） AME是二面角A-BD-C的平面角，=. ，且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线，平面AEM，.（4分） ，为等腰直角三角形，在AME中，由余弦定理得：， ，.（6分）图5（）解法一：等体积法.解法二：如图5，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系， （7分）则由（）及已知条件可知B(1，0，0)，D，C.则 （8分）设平面ACD的法向量为=，则令则z=-2，（10分）记点到平面的距离为d，则，所以d. （12分）19.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分分） 已知：如图，在四棱锥中，四边形
49、为正方形，且，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面平面；（）求二面角的正弦值【答案】解： （）证明：连结BD交AC于点O，连结EO 1分O为BD中点，E为PD中点，EO/PB 2分EO平面AEC，PB平面AEC， 3分 PB/平面AEC （）证明： PA平面ABCD平面ABCD， 4分又在正方形ABCD中且， 5分CD平面PAD 6分又平面PCD，平面平面 7分（）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 8分由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0
50、, 2）, E（0, 1, 1） 9分PA平面ABCD，是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）设平面AEC的法向量为, , 则 即 令,则 11分, 12分二面角的正弦值为 13分20.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分） 在直三棱柱中， ACB=90,是 的中点，是的中点 （）求证：MN平面 ； （）求点到平面BMC的距离； （）求二面角的平面角的余弦值大小。【答案】（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D DNBB1AA1 又DN 四边形A1MND为平行四边形。 MNA1 D 又 MN 平面A1B1C1 AD1平面A1B1C1 MN平面-4分
51、(2)因三棱柱为直三棱柱， C1 C BC，又ACB=90BC平面A1MC1在平面ACC1 A1中，过C1作C1HCM，又BCC1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=.-8分(3)在平面ACC1A1上作CEC1M交C1M于点E，A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，BEC1M, BEF为二面角B-C1M-A的平面角,在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,tanBEC= cosBEC=.二面角的平面角与BEC互补，所以二面角的余弦值为-12分法2：（1）同上。如图所示建系，（2）可得，,设是平面BMC的法向量，C1点到平
52、面BMC的距离h。可求得一个法向量为，, （3）可知是平面的法向量，设是平面的法向量，求得一个法向量设是为二面角的平面角,则，又因为二面角的平面角是钝角，所以。21.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】（本题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，折起（如图2），使二面角A-BD-C的余弦值等于.对于图2，完成以下各小题：（1）求A，C两点间的距离；（2）证明：AC平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.【答案】22.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分13分)在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD/E
53、F，EF/BCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。 (1)求证：AB/平面DEG； (2)求证：BDEG； (3)求二面角CDFE的正弦值。 【答案】23.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB。、求证：CE平面PAD；、若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45， 求四棱锥P-ABCD的体积.、在满足（）的条件下求二面角B-PC-D的余弦值的绝对值.【答案】(1)证明:因为PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE,因为ABAD,CE
54、AB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.3分(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.又因为AB=CE=1,ABCE,所以四边形ABCE为矩形,所以=,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于7分（3）建立以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系，取平面PBC的法向量为n1=(1,01)，取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3)，所以二面角的余弦值的绝对值是.12分24.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（1）求证：；
55、（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由 【答案】解：（1）证明：取中点，连结，因为，所以 因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以 所以平面 所以 4分（2）解法1：因为平面平面，且所以BC平面则即为直线与平面所成的角设BC=a，则AB=2a，所以则直角三角形CBE中，即直线与平面所成角的正弦值为 8分解法2：因为平面平面，且 ，所以平面，所以 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，则所以 ，平面的一个法向量为设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为 8分 （
56、3）解：存在点，且时，有/ 平面 证明如下：由 ，所以设平面的法向量为，则有所以 取，得因为 ，且平面，所以 / 平面 即点满足时，有/ 平面 12分2011-2012年联考题1、（2012莱芜一中模拟）设、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：（1）（2）（3）（4），其中正确的是 (A)（1）（2）(B)（1）（3） (C)（2）（3）(D)（2）（4） 【答案】B【解析】根据面面平行的性质可知，（1）正确，排除C,D,根据线面垂直的性质，可知（3）正确，所以选B.2、（2012德州一模）对于直线和平面，有如下四个命题： (1)若m，mn，则n (2)若m，mn，则n (3)若，,
57、则 (4)若m，mn，n，则 其中真命题的个数是() A1 B2 C3 D43、（2012临沂3月模拟）一个三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图分别是矩形和正三角形，如图所示，则这个三棱柱的体积为_； 【答案】【解析】由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的一个正三棱柱，底面正三角形的高为，则边长为2，三棱柱的高为2，所以三棱柱的体积为。4、（2012滨州二模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是（A）2（B）（C）（D）3答案：C6、（2012济南3月模拟）如图，正三棱柱ABC-的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A. B. 4 C
58、. D. 【答案】D【解析】由正视图可知，此三棱柱的侧视图为，高为2，宽为的矩形，所以面积为，选D.7、（2012济南三模）一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于( ) A B CD 答案：A解析：由三视图可知这是一个底面是直角梯形，高,的四棱锥。底面是一个直角梯形，上底,下底,梯形的高。所以四棱锥的体积为，选A.8、（2012临沂二模）如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是9、（2012青岛二模）设,是两条不同的直线, ,是三个不同的平面有下列四个命题：若，则；若，则； 若，则； 若，则其中错误命题的序号是A B C D10、（
59、2012青岛二模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 A.外接球的半径为 B.体积为 C.表面积为 D.外接球的表面积为【答案】D【解析】由三视图可知，这是侧面,高的三棱锥，,所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为O半径为，则，在直角三角形中，,即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，选D.11、（2012青岛3月模拟）已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为 .正视图侧视图俯视图12、（2012日照5月模拟）已知正三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图如图所示。设 的中心分别是，现将此三棱柱绕直线旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S，则S的最大值为
60、（A）4 （B）8（C）12 （D）16答案：B解析：由图可知，正三棱柱的高为4，底面正三角形的边长是2。底面一边水平时，俯视图面积最大，此时俯视图一边长为4，另一边长为2，面积为8.选B。13、（2012泰安一模）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为 . 14、（2012威海二模）如图，三棱锥底面为正三角形，侧面与底面垂直且,已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】,由题意知，该三棱锥的主视图为，设底面边长为，高，则的面积为。又三棱锥的左视图为直角，在正中，高，所以左视图的面积为，选B.15、（2012烟台二模）某几何体的三视图如右图所示，已
61、知其正视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为A.B.C.D.2答案：B解析：由三视图可知，这个几何体为圆柱，设圆柱的底面半径为r，高为h，则h2r3，圆柱的体积为：V（r）Shr2hr2（32r）（3r22r3）（6r6r2），令0，得r0（舍去）或r1，当r（0,1）是，0，V（r）递增，当r（1,）是，0，V（r）递减，r1是V（r）的一个唯一的极大值点，也是最大值点，所以，r=1时，圆柱体积的最大值为：V，选B。16、（2012滨州二模）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB= 2AD =2CD =2E是PB的中点 （I）求证：平
62、面EAC平面PBC; （II）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值17、（2012德州二模）如图甲，直角梯形ABCD中，AB/CD，点M、N分别在AB、CD上，且MNAB，MCCB，BC=2，MB=4，现将AMND沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙。） （I）求证：DC/平面AMB； （II）当DN的长为何值时，二面角DBCN的大小为60？解析：(I)证明：依题意AM/DN，BM/CN，且DNCN=N，所以平面CND平面AMB,又因CD平面CDN,所以CD平面AMB。（II）如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴，z轴
63、，建立空间直角坐标，由MB4，BC2，MCB90知MBC60，CN42cos603，MN建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，设，则18、（2012德州一模）如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，AB=AD=1 CD=2,DE=3，M为CE的中点 (I)求证：BM平面ADEF： ()求直线DB与平面BEC所成角的正弦值；()求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值解析：证明 ：（）取DE中点N，连结MN，N在中，M，N分别为ED， EC的中点，所以MN/CD，且又已知AB/CD，且，所以MN/AB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形 ，所以BM/
64、AN又因为平面BEC，且平面BEC所以MM/平面ADEF（II）解：在矩形ADEF中，EDAD，又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD，又ADCD，所以，取D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则D（0,0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，3）（III）易证DA平面DEC，取（1，0，0）为平面DEC的一个法向量，设平面BEC与平面DEC所成锐二面角为，则cos所以，平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为。19、（2012济南3月模拟）如图,在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB
65、=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD. (1) 求证：平面PCD平面PAD；(2) 求二面角G-EF-D的大小；(3) 求三棱椎D-PAB的体积.20、（2012济南三模）在斜三棱柱中，侧面，,.(1)求证：；(2)在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为.解析：（1）证：， ，即有； 又，为中点，则 (2)如图所示以点为坐标系原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则有则,得所以，当时，二面角的大小为2010年联考题题组二（5月份更新）1（池州市七校元旦调研）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平
66、面所成角的大小是 ( )A B C D答案 C解析：取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，即有2. (安徽六校联考)如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是( )A. B. C. D.答案B3如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO 答案：B4. （三明市三校联考）已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 答案2/35.（昆明一中三次月考理）四面体ABCD中，共顶点A的三条棱
67、两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为。答案：6（池州市七校元旦调研）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18俯视图正视图侧视图7.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .答案主视图俯视图左视图8（安庆市四校元旦联考）（本题满分14分） 如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，点是的中点，点在上移动。求三棱锥体积；当点为的
68、中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；求证：。解：（1）， （2）当点为的中点时，。理由如下：点分别为、PD的中点，。， （3）， ， ， ，点是的中点 又 9. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，在三棱柱中，已知学，网，侧面，（1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；（2）在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得(要求说明理由).（3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小.解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为. 为直线与底面所成角. ， 即直线与底面所成角正切值为2. （2）当E为中点时，. ，即 又， ， （3）取的中点，的中点，则，且，连结，设，连结，则，且为二面
69、角的平面角. ， 二面角的大小为45 题组一（1月份更新）一、选择题1.（2009滨州一模）设、是两个不同的平面，为两条不同的直线，命题p：若平面，则；命题q：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）Ap或qBp且qCp或qDp且q答案C2.（2009玉溪市民族中学第四次月考）若球O的半径为1，点A、B、C在球面上，它们任意两点的球面距离都等于则过A、B、C的小圆面积与球表面积之比为 （ ）A B C D答案 C3.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD答案B4.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为A、 B
70、、 C、 D、答案C5.（2009青岛一模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A B. C D. 答案C俯视图正(主)视图侧(左)视图23226.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A BC D答案C7.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12答案A8.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）ABCD以上都不对答案C9.（2009番禺一模）一个几何体的
71、三视图如右图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）A12 B C D6答案 C二、填空题理第11题1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为_。答案 2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3.答案 AOCB第19题图三、解答题1.（2009上海普陀区）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.解：如图，设中点为，联结、.由题意，,所以为等边三角
72、形，故，且.AOCB第19题图D又，所以.而圆锥体的底面圆面积为,所以圆锥体体积.2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90, AB=BC=1. (1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；(2)若直线A1C与平面ABC所成角为45, 求三棱锥A1-ABC的体积. （1）因为，所以BCA（或其补角）即为异面直线与所成角 -(3分)ABC=90, AB=BC=1，所以， -(2分)即异面直线与所成角大小为。 -(1分)（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以即为直线A1C与平面ABC所成角，所以。 -(2分)中，AB=BC=1得到，中，得到， -(2分)所以
73、 -(2分)3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体中，（如图）ABCDA1B1C1FED1是棱的中点，是侧面的中心（1） 求三棱锥的体积；求与底面所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（1） （2）取的中点，所求的角的大小等于的大小， 中，所以与底面所成的角的大小是4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点（）求四棱锥的体积；（）求异面直线OB与MD所成角的大小解：（）由已知可求得，正方形的面积，2分所以，求棱锥的体积 4分（）方法一（综合法）设线段的中点为，连接，则为异面直线OC与所成的角（或其补角） .1分由已知，可得，为直角三角形 .2分
74、， .4分所以，异面直线OC与MD所成角的大小 .1分方法二(向量法)以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，则, 2分， .2分 设异面直线OC与MD所成角为，3分 OC与MD所成角的大小为1分5、（2009东莞一模）如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为. （1）求证：D1EA1D； （2）求AB的长度； （3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE平面AD1，AD1是ED1在平面AD1内的射影。又AD=AA1=1， AD1A1D D1E
75、A1D1（三垂线定理） 4分（2）设AB=x，四边形ADD1A是正方形，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为 9分（3）假设存在，平面DEC的法向量，设平面D1EC的法向量，则 12分由题意得：解得：（舍去）14分2009年联考题一、 选择题1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）ABC D 答案 D2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（ ） A2a2 Ba2 C D答案 C3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何
76、体的长方体木块块数共有( )A3块 B4块 C5块 D6块答案 B正视图侧视图俯视图4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A. B.C . 4 D. 8答案 C5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A B C Dr答案 C6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( )AZ BC D答案B7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
77、俯视图主视图图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A与 B与 C与 D与答案 C8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )2俯视图主视图左视图212A. B.21 cm C. D. 24 cm 答案 A9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( ) 2 223俯视图 主视图 左视图A.22 B.12 C.424 D.432答案 D二、填空题10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .答案 12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_cm2. 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 5答案 8013.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_ 答案 2高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
