1、河北省曲阳县第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、单项选择题1. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“”的否定是，故选：B.【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.2. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把抛物线的方程化成标准方程后可得焦点坐标【详解】因为，故，故焦点坐标为故选：B3. 从区间内任取一个实数a，则双曲线的离心率的概率是（ ）A. B. C. D
2、. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出a的范围，由几何概率可求出答案.【详解】从区间内任取一个实数a.双曲线的离心率, 从区间内任取一个实数a，则的概率为 故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率和集合概率，属于基础题.4. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】基本事件的总数有种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案.【详解】从编号为1，
3、2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件(第一次抽得的卡片,第二次摸到卡片用表示)：，共个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率.故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.5. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，继而可得与R的位置关系，得FR长度【详解】由抛物线，所以焦点,
4、准线方程，因为，分别为，的中点，所以,所以四边形QMRF为平行四边形，FR=QM，又由垂直于点，所以PQ=PF，因为，所以为等边三角形，所以，所以，选择A【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此6. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度单位：组成一个样本，得到如图所示的茎叶图若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用，表示，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，所以乙的平均数较大，并且乙比较稳定，所
5、以方差较小.【详解】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，故选C【点睛】本题考查平均数、标准差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力和观察能力，是基础题7. 已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】【分析】由题意，关于原点对称，设，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出
6、它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用，斜率之积的范围为，得到 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围.8. 设，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点， 线段交左支于点，若为正三角形，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，得到，再由为正三角形，求出，根据化简求解，即可得出结果.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得，又为正三角形，则，所以，则，又，因此，即，解得（负值舍去）.故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲
7、线的定义和简单性质即可，属于常考题型.二、多项选择题9. 设集合，分别从集合和中随机取一个元素与.记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的取值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件、事件、事件、事件、事件、事件所包含基本事件的个数及相应的概率即可.【详解】由题意，点的所有可能情况为、，共个基本事件，则事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以
8、；事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以.综上可得，当或时，.故选：BC.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，关键是要分情况讨论，属中等难度题.10. 近年来，我国国内文化和旅游市场潜力不断释放，大众出游热情持续高涨，行业发展整体呈好的趋势，以下为2011-2019年我国国内旅游收入情况统计图.根据统计图，下列结论正确的是（ ）A. 与2018年相比，2019年国内旅游收入增幅约为19.61%B. 2011-2019年国内旅游收入的中位数为3.4万亿元C. 2011-2019年国内旅游收入的平均数约为3.5万亿元D. 若每年国内旅游收入（万亿元）与年份线性相关，且满足，则估计202
9、0年的国内旅游收入为7.2万亿元【答案】AB【解析】【分析】A利用增长率的计算公式进行计算并判断；B根据中位数的概念进行分析并判断；C利用平均数的计算公式进行分析并判断；D根据回归直线方程过样本点中心求解出的值，然后再代入求解出的值，即可进行判断.【详解】选项A，由图可知，2019年国内旅游收入比2018年增长了1万亿元，增幅约为，故A正确；选项B，将2011-2019年这九年的国内旅游收入的金额按照从小到大的顺序排列，可得中位数是3.4万亿元，故B正确；选项C，2011-2019年国内旅游收入的平均数约为（万亿元），故C不正确；选项D，由题意可得，将代入，得，可得，所以，将代入，可得，故D不
10、正确.故选：AB11. 已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据焦点位置的不同可得椭圆标准方程的不同形式，再利用点差法可求直线的斜率，从而得到所求的直线方程.【详解】由已知可得椭圆的，又长轴为短轴的，故椭圆方程为或，设弦的两端点为，当椭圆方程时，则有，两式相减得，整理得，弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得；当椭圆方程为时，则有，两式相减得，整理得，弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得.故选：AD.【点睛】易错点睛：给出椭圆的几何量，求其标准方程时，注意根据焦点的位置分类讨论，否则是丢解
11、.12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为、，下列结论正确的是（ ）A. 的离心率为B. 的渐近线方程为C. 动点到两条渐近线的距离之积为定值D. 当动点在双曲线的左支上时，的最大值为【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线的方程求出、的值，可求得双曲线的离心率和渐近线方程，可判断A、B选项的正误；设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合双曲线的方程可判断C选项的正误；利用双曲线的定义和基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于双曲线，所以，双曲线的离心率为，渐近线方程为，A选项正确，B选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为和，则点到两条渐近线的距离之积为，C选项正
12、确；当动点在双曲线的左支上时，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的离心率、渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线几何性质和定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、填空题13. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，设双曲线的方程为,再代入点，求得双曲线焦点在轴上，可算出，即可求出离心率.【详解】设双曲线的方程为，将代入中，则，故双曲线的焦点在轴上，且则双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】方法点睛：该题所考查的是有关双曲线的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的渐近线的方程设出双
13、曲线方程；（2）将双曲线所过的点代入方程求得的值；（3）根据所求符号，判断其焦点所在轴，求得；（4）结合双曲线中的关系，进而求得其离心率的大小.14. 如图所示，在三棱柱中，底面，点，分别是棱，的中点，则直线和的夹角是_.【答案】60【解析】【分析】则可将三棱柱补形为正方体，连接，可得即为直线和所成角，求出即可.【详解】底面，则可将三棱柱补形为正方体，如图，连接，可知在正方体中，四边形是平行四边形，中，分别是，的中点，则即为直线和的所成角，可知是等比三角形，.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.15. 设，若非是非的必要而不充分条件，则实数的取值范围为_.【答案】【解
14、析】【分析】若非是非的必要而不充分条件，可得即是充分不必要条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.【详解】由题意得，命题，解得，记 命题，即，解得：，记，又因为非是非的必要而不充分条件，即是充分不必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案：【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含16. 已知定点，若动点满足方程，则的
15、最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据方程的几何意义，结合椭圆定义可求得点轨迹方程；设椭圆右焦点为，将转化为，由此可得最小值为.【详解】由可知到和的距离之和为，根据椭圆定义可知：，点轨迹方程为：.设椭圆右焦点为，则，（当且仅当在线段上时取等号），.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆上点到定点与焦点的距离之和的最小值的求解问题，涉及到动点轨迹的求解；关键是能够利用椭圆定义将问题转化为椭圆上的点到定点与焦点距离之差的最小值的求解问题，进而结合三角形三边关系得到结果.四、解答题17. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，绘制成如下的统计表：组号分组频数频率12
16、250.2530.404150.155100.10（1）求表中，的值；（2）先采用分层抽样的方法，从第4组和第5组中抽取5人参科普知识竞赛，再从被抽出的5人中随机抽取2人进行能力评估，求参加能力评估的2人恰来自同一个组的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布表，直接计算，即可求出，的值；（2）根据分层抽样的方法，先分别确定第4组和第5组抽取的人数，利用列举法写出总的基本事件以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比，即为所求概率.【详解】（1）题意得，则.所以，；（2）依题意得，从第4组抽出的人数为（人），记作，；从第5组抽出的人数为（人），记作，；从5人中抽取2人，
17、所包含的基本事件有，共10个；抽取的2人恰好来自同一个组所包含的基本事件有：，共4个；所以参加能力评估的2人恰好来自同一个组的概率为.18. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）12345销售收
18、益（单位：万元）2337由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程.（参考公式：）【答案】（1）2；（2）5；（3）空白栏中填5，【解析】【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；（2）根据各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.【详解】（1）设各小长方形的宽度为.由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，解得.故图中各小长方形的宽度为2.（2）由（1）知各小组依次是，其中点分别为对应的频率分别为故可估
19、计平均值为.（3）由（2）可知空白栏中填5.由题意可知，根据公式，可求得，.所以所求的回归直线方程为.【点睛】本题考查频率分布直方图的实际应用以及回归直线方程的求法，难度一般.（1）频率分布直方图中，小矩形的面积代表该组数据的频率，所有小矩形面积之和为；（2）求解回归直线方程时，先求解出，然后根据回归直线方程过样本点的中心再求解出.19. 如图，三棱锥中，底面，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明平面，可得，又，可得平面，从而可得平面平面；（2）取的中点，的中点，连接，证明平面平面，则平面与平
20、面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）【详解】（1）证明：底面，且底面，由，可得，又，平面，平面，平面，为中点，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中点，的中点，连接，为的中点，平面，平面，平面同理可证：平面，平面平面则平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）底面，平面，平面，平面，平面，而为平面与平面的交线，又底面，平面，为二面角的平面角根据条件可知，在中，在中，由余弦定理求得，故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为【点睛】本题主要考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定和正确作出面面角，意
21、在考查学生对这些知识的理解掌握水平20. 如图，在四棱锥中，平面，. (1)设点为的中点，求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）为中点 【解析】【详解】试题分析：（1）先取的中点，利用三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面.根据计算，利用平几知识得，再根据线面平行判定定理得平面.从而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根据面面平行性质得平面. （2）一般利用空间直角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出平面法向量，根据向量数量积求出向量夹角，
22、最后利用线面角与向量夹角关系列方程，解出点坐标，确定其位置.试题解析：(1)证明取的中点，连接，则.因为平面，平面，所以平面. 在中，所以.而，所以.因为平面，平面，所以平面. 又因为，所以平面平面.因为平面， 所以平面. （注：（1）问也可建系来证明）(2)过作，交于，又平面知以为原点，分别为轴建系如图： 则设平面PAC的法向量，由有取 设，则， , 线段上存在一点，为中点21. 在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1.(1)求曲线的方程；(2)若直线 与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线定义“
23、到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点的轨迹；（2）设直线与抛物线方程联立化为，由于，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线与直线的斜率之和0，即可证明【详解】（1）曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1，所以动点到直线的距离与它到点的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线；（2）证明：设.联立，得，（），,，直线线与直线的斜率之和：因为直线与直线的斜率之和为，直线与直线的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，上、下顶
24、点分别为，四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，记的内切圆的半径为，试求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，求出的值即可得椭圆的方程；（2）设，由椭圆的定义可得的周长，再由面积公式结合内切圆的半径，再讨论直线时，求得半径，当与轴不垂直时，设，与椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形面积公式结合换元法和二次函数值域的求法，即可得所求的范围.【详解】（1）椭圆的离心率为，四边形面积为，又，解得：，椭圆的方程为.（2）设，则的周长为，即，当时，的方程为，.当与轴不垂直时，设，由，得，令，.综上可知：.【点 睛】关键点点睛：本题的关键点是由四边形的面积为得出，结合，可求出方程，利用的内切圆的半径为表示的面积，可得，又因为，联立直线与椭圆的方程消得关于，可求，代入，可将用表示，再求范围即可.23. 双曲线的左右焦点分别为，过的直线交曲线左支于，两点，是以为直角顶点的直角三角形，且，若该双曲线的离心率为，求.【答案】【解析】【分析】设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，用m表示，再根据双曲线的定义分别得到，利用，求得m，然后由求解,【详解】如图所示：设，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，所以，因为，所以，因为，所以，所以，即，解得，所以，因为，即，所以，解得