1、1集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示
2、法、区间法(4)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集小帖士：注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集常用数集：自然数集N；正整数集N(或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对 任 意 的 xA，都 有 xB，则 AB(或BA)若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA，则AB(或BA)A；AA；AB，BCAC.思考探究：若A含有n个元素，则A的子集有_个，A的非空子集有_个，A的非空真子集有_个提示：2n 2n1 2n1(2)集合相等若AB且BA，则AB.3集合的运
3、算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA或xB；交集：ABx|xA且xB；补集：UAx|xU且xAU为全集，UA表示A相对于全集U的补集(2)集合的运算性质并集的性质AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性质A ；AA A；AB BA；AB AAB.补集的性质A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)1(2011年重庆八中第四次月考)已知全集UR，则正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的韦恩(Venn)图是()解析：由 Nx|x2x01,0，故 N M，故选 B.答案：B2设集合 Px|xk316，kZ，Qx|xk6
4、13，kZ，则()APQBPQCPQDPQ解析：解法一：列举法P，16，16，36，56，76，96，Q，16，0，16，26，36，显然，P Q，选 B.解法二：描述法k31616(2k1)，k61316(k2)，kZ，x|x2k1，kZ x|xk2，kZ，P Q，故选B.答案：B3(2010年福建省模拟)已知集合A2，1,0,1,2，集合BxZ|x|a，则满足AB的实数a可以取的一个值为()A0B1C2D3解析：当a0时，B0；当a1时，B1,0,1；当a2时，B2，1,0,1,2；当a3时，B3，2，1,0,1,2,3，显然只有a3时满足条件，故选D.答案：D4(2011年龙岩高中高三月
5、考)已知全集U为实数集，Ax|x22x0，Bx|x1，则ACUB()Ax|0 x1Bx|0 x2Cx|x1D解析：Ax|0 x2，Bx|x1，CUBx|x1，ACUBx|0 x1，选A。答案：A考点一 集合的基本概念1掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确2用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质如集合y|y2x，x|y2x，(x，y)|y2x表示不同的集合例1 已知集合Aa2,2a25a,12，且3A，求a.【分析】分别令a2
6、3,2a25a3求出a的值，注意检验【解】3A，则3a2 或32a25a，a1 或 a32.当 a1 时，a23,2a25a3，a1 舍去；当 a32时，a272，2a25a3，a32.变式迁移 1(2011 年东北三校)有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1，也可以表示为a2，ab,0，则 a2011b2011_.解析：由已知得ba0 及 a0，所以 b0，于是 a21，即a1 或 a1.又根据集合中元素的互异性 a1 应舍去，因而a1，故 a2011b2011(1)20111.答案：1考点二 集合与集合的基本关系1判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法表示的集合要抓住元素及
7、属性，可将元素列举出来或通过元素特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助数轴，韦恩图及函数图象等)解决2子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集例 2 已知集合 Ax|0ax15，集合 Bx|12x2(1)若 AB，求实数 a 的取值范围；(2)若 BA，求实数 a 的取值范围；(3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理由【分析】在确定集合 A 时，需对 x 的系数 a 进行讨论利用数轴分析，使问题得到解决【解】A 中不等式的解集应分三种情况讨论：若 a0，则 AR；若 a0，则 Ax|4ax0，则 Ax|1ax4a
8、(1)当 a0 时，若 AB，此种情况不存在当 a121a2，a8a12，a0 时，若 AB，如图，则 1a124a2，a2a2.a2.综上知，当 AB 时，a8 或 a2.(2)当 a0 时，显然 BA；当 a2，a8a12.12a0 时，若 BA，如图，则 1a124a2，a2a2.0a2.综上知，当 BA 时，12a2.(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，AB.由(1)、(2)知，a2.变式迁移2(1)(2010年浙江高考)设Px|x4，Qx|x24，则()APQBQPCPRQDQRP解析：由已知可得Qx|2x2，易知QP，故选B.答案：B(2)已知集合A1,3,2m1，集合B3
9、，m2若BA，则实数m_.解析：BA，m2A，又m23，且m21，则m22m1，解得m1.答案：1考点三 集合的基本运算在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁例3(1)已知全集U1,2,3,4,5，集合Ax|x23x20，Bx|x2a，aA，则集合U(AB)中元素的个数为()A1个B2个C3个D4个【解析】A1,2，Bx|x2a，aA2,4，AB1,2,4，所以U(AB)3,5，因此集合U(AB)中元素的个数为2个，故选B.【答案
10、】B(2)(2010年江苏高考)设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a的值为_【解析】AB3，a244，a23，a1.故填1.【答案】1(3)设A、B、U均为非空集合，且满足ABU，则下列各式中错误的是()A(UA)BUB(UA)(UB)UCA(UB)D(UA)(UB)UB【解析】解法一：具体化法设A1，B1,2，U1,2,3然后逐一检验解法二：利用文氏图【答案】B变式迁移3(1)已知R为实数集，集合Ax|x23x20，若B(RA)R，B(RA)x|0 x1或2x3，求集合B；(2)已知集合Ma,0，Nx|x23x0，xZ，而且MN1，记PMN，写出集合P的所有子集解：(1)Ax
11、|1x2，RAx|x2又B(RA)R，A(RA)R，可得AB.而BRAx|0 x1或2x3，x|0 x1或2x3B.借助于数轴可得BAx|0 x1或2x3x|0 x3(2)由x23x0，得0 x3.又xZ，故N1,2由Ma,0且MN1，可得a1.M1,0，P1,21,00,1,2故P的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2考点四 与集合有关的新概念问题与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题在新给出的运算法则的前提下，将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式，是解答此类问题的关键例4(2010年四川高考)设S为复数集C的非空子
12、集，若对任意x，yS，都有xy，xy，xyS，则称S为封闭集下列命题：集合Sabi|a，b为整数，i为虚数单位为封闭集；若S为封闭集，则一定有0S；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【解析】令xa1b1i，ya2b2i，a1，a2，b1，b2Z，则x，yS，xy(a1a2)(b1b2)i，xy(a1a2)(b1b2)i，xy(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i.又a1a2，b1b2，a1a2b1b2，a1b2a2b1Z，xy，xy，xyS，S封闭 令xyS，则xy0S.令S0，则S封闭但是有限集 令S0，T0,1,0
13、11T，故T不封闭【答案】变式迁移4 设A，B是非空集合，定义AB x|xAB 且 xAB，已 知 A x|0 x2，By|y0，则AB_.解析：AB0，)，AB0,2，所以AB(2，)答案：(2，)高考仍以考查概念与计算为主，考查两个集合的交集、并集与补集，多以选择题填空题的形式出现，赋分5分，联系不等式的解集与不等关系，且注重基本知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识、会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题如2010天津，7；2010安徽，1等(2010天津高考)设集合Ax|xa|2，xR若AB，则实数a，b必满足()A|ab|3B|ab|3C|ab|3D|ab|3 201
14、1北京卷 已知集合Px|x21，Ma若PMP，则a的取值范围是()A(，1 B1，)C1,1 D(，11，)解析：由PMP，可知MP，而集合Px|1x1，所以1a1，故选C.答案：C解析：由题意可得集合Ax|a1xa1，集合Bx|xb2，又因为AB，所以有a1b2或b2a1，即ab3或ab3.因此选D.答案：D解析：由题意可得集合Ax|a1xa1，集合Bx|xb2，又因为AB，所以有a1b2或b2a1，即ab3或ab3.因此选D.答案：D1不注意集合中元素的特征纠错训练1 已知集合Mx|xa23a2，aR，Nx|ylog2(x22x3)，则MN_.【解析】因为 a23a2(a32)21414，
15、故 Mx|x14；由 x22x30，即(x1)(x3)0，解得 x1，故 Nx|x1所以 MNx|x1【答案】x|x12解题时忽视空集纠错训练2 已知集合Ax|x25x60，集合Bx|ax20，若ABB，求实数a的值。【解析】Ax|x25x601，6ABB，BA.当 B 时，a0，符合题意当 B6时，a(6)20，a13.综合知，a0 或 2 或13.3不注意集合中元素的互异性纠错训练3 设集合A0，a，集合Ba2，a3，a21且AB，则a的值是()A1B1C1D2【解析】由 A0，a及集合元素的互异性可知 a0，所以 a20，a30，又 AB，所以 a210，解得 a1.当 a1 时，a2a31，这与集合元素互异性矛盾，舍去当 a1 时，A0,1，B1，1,0，满足 AB.综上 a1，故应选 C.【答案】C4解决集合的子集、交集、并集、补集关系问题时，要特别注意区间端点的值能否取到纠错训练4 已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，则实数a的取值范围是()Aa1Ba2【解析】RBx|x1或x2，A(RB)R，a2.【答案】C