1、3.1.1方程的根与函数的零点1函数零点的概念对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标比如，由于方程f(x)lg x0的解是x1，所以函数f(x)lg x的零点是1辨误区 函数的零点不是点我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数yf(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零例如，函数f(x)x1，当f(x)x10时仅有一个实根x1，因此函数f(x)x1有一个零点1，由此可见函数f(x)
2、x1的零点是一个实数1，而不是一个点【例1】函数f(x)x21的零点是()A(1,0) B(1,0)C0 D1解析：解方程f(x)x210，得x1，因此函数f(x)x21的零点是1答案：D2基本初等函数的零点函数零点(或零点个数)正比例函数ykx(k0)一个零点0反比例函数(k0)无零点一次函数ykxb(k0)一个零点二次函数yax2bxc(a0)0两个零点0一个零点0无零点指数函数yax(a0，且a1)无零点对数函数ylogax(a0，且a1)一个零点1幂函数yx0一个零点00无零点【例2】若abc0，且b2ac，则函数f(x)ax2bxc的零点的个数是()A0 B1 C2 D1或2解析：b
3、2ac，方程ax2bxc0的判别式b24acb24b23b2又abc0，b0因此0故函数f(x)ax2bxc的零点个数为0答案：A3函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)0有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点【例31】若函数f(x)x2axb的零点是2和4，求a，b的值解析：因为函数f(x)x2axb的零点就是方程x2axb0的根，故方程x2axb0的根是2和4，可由根与系数的关系求a，b的值解：由题意，得方程x2axb0的根是2和4，由根与系数的关系，得即(2)一元二次方程ax2bxc0(a0)与二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象联系密切，下面以a0为例列表说
4、明000二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象图象与x轴交点(x1,0)，(x2,0)(x0,0)无交点方程f(x)0的根xx1，xx2xx0无实数根函数yf(x)的零点x1，x2x0无零点因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系【例32】函数yf(x)的图象如图所示，则方程f(x)0的实数根有()A0个B1个C2个 D3个解析：观察函数yf(x)的图象，知函数的图象与x轴有3个交点，则方程f(x)0的实数根有3个答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数由于“方程f(x)0的实数根函数yf(x)的图象与x轴
5、的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x轴是否有交点即可4判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)1log3x解：(1)令0，解得x3故函数f(x)的零点是3；(2)令1log3x0，即log3x1，解得x3故函数f(x)1log3x的零点是3(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数
6、的零点问题，可利用函数的图象求解我们知道，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程F(x)0即方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象的交点的横坐标这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数【例41】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)解析：分别解方程f(x)0得函数的零点解：(1)解方程f(x)x27x60，得x1或6故函数的零点是1，6(2)解方程f(x)1log2(x3)0
7、，得x1故函数的零点是1(3)解方程f(x)2x130，得xlog26故函数的零点是log26(4)解方程f(x)0，得x6故函数的零点为6辨误区 忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义【例42】函数f(x)ln x的零点的个数是()A0B1C2D3解析：在同一坐标系中画出函数yln x与的图象如图所示，因为函数yln x与的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为2答案：C,5判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，
8、并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反但需注意以下几点：(1)当函数yf(x)同时满足：函数的图象在区间a，b上是连续曲线；f(a)f(b)0则可判定函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个(2)当函数yf(x)的图象在区间a，b上是连续的曲线，但是不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点例如函数f(x)x2在区间1,1
9、上有f(1)f(1)0，但是它在区间(1,1)上存在零点0(3)函数在区间a，b上的图象是连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若满足f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点,【例51】求函数f(x)x25x6在区间1,4上的零点个数解：错解错解一：由题意，得f(1)20，f(4)20，因此函数f(x)x25x6在区间1,4上没有零点，即零点个数为0错解二：f(1)20，f(2.5)0.250，函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又f(4)20，f(2.5)0.250，函数在区间(2.5,4)内有一个零点函数在区间1,4内有两个零点错因分析对于错解一，是错误地类比
10、了零点存在性定理，注意当f(a)f(b)0时，区间(a，b)内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f(a)f(b)0时，区间(a，b)内存在零点，但个数是不确定的正解由x25x60，得x2或x3，所以函数f(x)x25x6在区间1,4上的零点个数是2【例52】函数f(x)lg x的零点所在的大致区间是()A(6,7) B(7,8) C(8,9) D(9,10)解析：f(6)lg 6lg 60，f(7)lg 70，f(8)lg 80，f(9)lg 910，f(10)lg 100，f(9)f(10)0函数f(x)lg x的零点所在的大致区间为(9,10)答案：D6一元二次方程的根的分布(1)一
11、元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实根为x1，x2且x1x2x10，x20x10，x20x10x20x10，x20c0，且0；x10，x20c0，且0(2)一元二次方程的根的k分布研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：一元二次方程根的判别式对应二次函数区间端点的函数值的正负对应二次函数图象抛物线的对称轴与区间端点的位置关系设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1，x2，且x1x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论根的分布图象等价条件x1x2k
12、kx1x2x1kx2f(k)0x1，x2 (k1，k2)x1，x2中有且仅有一个在区间(k1，k2)内f(k1)f(k2)0或f(k1)0，k1或f(k2)0，k2_【例61】已知函数f(x)mx2(m3)x1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围解：(1)当m0时，f(x)3x1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意(2)当m0时，f(0)1，抛物线过点(0,1)若m0，函数f(x)图象的开口向下，如图所示二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧若m0，函数f(x)图象的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当0m1综上所述，所求m的取
13、值范围是(，1点技巧 研究函数图象性质有技巧对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f(0)1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题【例62】关于x的方程ax22(a1)xa10，求a为何值时，(1)方程有一根；(2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内解：(1)当a0时，方程变为2x10，即符合题意；当a0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以12a40，解得综上可知，当a0或时，关于x的方程ax22(a1)xa10有一根(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：或解得a因此不存在实数a，使方程两根都大于1(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足或解得a0(4)因为方程有一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足或解得a因此不存在实数a，使方程有一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801