1、1了解构成函数的要素；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单地应用4会求一些简单函数的定义域1函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数_f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称_f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应_f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法y f(x)，xA对应f：
2、AB是一个映射思考探究1：映射与函数有什么区别？提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集2函数的相关概念(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系(2)相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等思考探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数 f(x)x和函数g(x)x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数3函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法1(2011年成都玉林中学)设集合Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集
3、合M到集合N的函数关系的有()A B CD解析：由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.答案：C2(2010 年丽水模拟)下列各组函数是同一函数的是()Ay|x|x 与 y1By|x1|与 yx1，x11x，x0，1，x0，排除 A；y|x1|x1，x1，1x，x1)的图象的大致形状是()解析：当 x0 时，函数 yxax|x|(a1)变为 yax(a1)，为单调递增；当 x1)变为 yax(a1)，为单调递减故应选 C.答案：C4(2010 年江苏南京二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)3x1，x0，fx1fx2，x0，则 f(2010
4、)_.解析：由 f(1)3219，f(0)3113，f(1)f(0)f(1)131929，f(2)f(1)f(0)291319，f(3)f(2)f(1)192913，f(4)f(3)f(2)13(19)29，f(5)f(4)f(3)29(13)19，f(6)f(5)f(4)19(29)13，可知 6 是函数 f(x)的一个周期，所以 f(2010)f(63350)f(0)13.答案：135(2010 年浙江省温州市十校联合体考试)函数 f(x)lg 1x2的定义域为_解析：由题意，1x20，1x20，x21，1x1Bk1Ck1Dk1【分析】A中不存在元素与k对应方程x22xk无解，利用判别式可
5、以求k的范围【解析】由题意，方程x22xk无实数根，也就是x22xk0无实数根(2)24k4(1k)1.当k1时，集合A中不存在元素与实数kB对应【答案】A变式迁移 1 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：yxx；f2：y1.(2)f1：y|x|；f2：yx x0，x x0.(3)f1：y1 x1，2 1x2，3 x2；f2：xx11x0，即 x23.故所求函数的定义域为x|x23(2)要使函数有意义，必须x102x0 x1，x2，即 x1 且 x2.故所求函数的定义域为x|x1 且 x2(3)要 使 函 数 有 意 义，必 须x2x0，9x20，化 简 得x1，3x3
6、，解得3x0 或 1x3.故所求函数的定义域为x|3x0 或 1x0 x23x40 得x14x1 即1x1.故选 C.答案：C考点三 求函数的解析式求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入 f(x)中的x，即得到 fg(x)的解析式；(2)拼凑法，对 fg(x)的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设tg(x)，解出x，代入fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知 f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式例 3(1
7、)设二次函数 f(x)满足 f(x2)f(x2)，且图象在 y 轴上的截距为 1，被 x 轴截得的线段长为 2 2，求 f(x)的解析式；(2)已知 f(x1)x2 x，求 f(x)；(3)已知 f(x)满足 2 f(x)f1x 3x，求 f(x)【解】(1)f(x)为二次函数，设 f(x)ax2bxc(a0)，且 f(x)0 的两根为 x1，x2.由 f(x2)f(x2)，得 4ab0.又|x1x2|b24ac|a|2 2，b24ac8a2.由已知得 c1.由、式解得 b2，a12，c1，f(x)12x22x1.(2)设 x1t(t1)，则 xt1.代入 f(x1)x2 x，得 f(t)t2
8、1(t1)，f(x)x21(x1)(3)把题目中的 x 换成1x，得 2 f1x f(x)3x，联立方程2 fx f1x 3x2 f1x fx3x2得 3 f(x)6x3x，所以 f(x)2x1x(x0)变式迁移3(1)已知f(1cosx)sin2x，求 f(x)；(2)已知 f(x)是二次函数，若f(0)0，且 f(x1)f(x)x1，试求 f(x)的表达式解：(1)f(1cosx)sin2x1cos2x，令1cosxt，则cosx1t.1cosx1，01cosx2，0t2，f(t)1(1t)2t22t(0t2)，故 f(x)x22x(0 x2)(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f
9、(0)0 知 c0，f(x)ax2bx.又由 f(x1)f(x)x1，得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1，故有2abb1ab1ab12.因此，f(x)12x212x.考点四 分段函数分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法【解析】f(0)2012，ff(0)f(2)222a4a.a2.故选C.【答案】C例 4(2010 年陕西高考)已知函数 f(x)2x1，x0，x0.则 f(43)f(43)的值等于()A2 B4C2 D4解析：430，f(43)24383，430 x3或x2，x1，x00 x1 或 1x2或 x3，故函数的定义域是(0,1)(1,23，)(2)令 tx1，f(x1)的定义域为0,1，即 0 x1，1tx12，即函数 f(t)的定义域为1,2令 u2x2，由 1u2，即 12x22，解得 log23x2.故函数 f(2x2)的定义域为log23,2