1、1直线方程的几种形式名称方程形式已知条件不能表示的直线点斜式yy0k(xx0)(k存在)直线l过点P0(x0，y0)且斜率为k垂直于x轴的直线斜截式ykxb(k存在)直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b垂直于x轴的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1(x1x2且y1y2)直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)垂直于x轴的直线和垂直于y轴的直线截距式xayb1(ab0)直线l在x，y轴上的截距分别为a，b垂直于x轴的直线，垂直于y轴的直线和过原点的直线一般式AxByC0A，B不同时为0可以表示任何位置的直线2.(1)直线的一般式方程 AxByC0(B0)化为斜截式方程 yABxC
2、B，表示斜率为_、y 轴上的截距为_的直线；(2)过点 P(x0，y0)的直线可写为 A(xx0)B(yy0)0；(3)与直线 AxByC0 平行的直线可设为_；与直线 AxByC0 垂直的直线可设为_ABCBAxByC0BxAyC03若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则x ，y .x1x22y1y22考点一 利用直线的性质求直线方程示范1 已知ABC 的三个顶点为 A(3,0)，B(2,1)，C(2，3)，(1)求 BC 所在直线的方程；(2)求 BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)求 BC 边的垂直平分线 D
3、E 的方程分析 直线 BC 的方程可用两点式求；先求点 D 的坐标，再求直线 AD 的方程；直线 DE 的斜率可由直线 BC 的斜率求得，进而求直线 DE 的方程解析(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，由两点式得 BC 的方程：y131 x222，即 x2y40.(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x，y)，则 x222 0，y132 2.BC 边的中线 AD 过 A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为 x3y21，即 2x3y60.(3)BC 的斜率 k112，则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22，由斜截式得直线 DE 的方程为 y
4、2x2.【点评】直线方程有多种形式，一般情况下，利用任何一种形式都可求出直线方程(不满足条件的除外)但是如果选择恰当，解答会更加迅速，本题中的三个小题，分别依条件选择了三种不同形式的直线方程，应该掌握展示1(1)求经过点 A(3,2)且与直线 4xy20 平行的直线方程；(2)求经过点 B(3,0)且与直线 2xy50 垂直的直线方程【解析】(1)由题意，得所求平行直线方程为 4(x3)(y2)0，即 4xy140.(2)由题意，得所求垂直直线方程(x3)2(y0)0，即 x2y30.方法点拨：知道确定直线的两个独立条件时，可直接套用直线方程的几种形式.若知道直线的某种性质，可先设出方程，再确
5、定方程.利用斜率求直线方程，应注意斜率是否存在.考点二 利用直线方程研究直线性质示范2 设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)，(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程；(2)若直线 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围分析 可先通过画图列式求出实数 a 的取值范围解析(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，当然相等此时，a2，方程为 3xy0；当 a2 时，由截距相等，即a2a1a2，得 a0，此时方程为 xy20.所求 l 的方程为 3xy0 或 xy20.(2)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，l 不经过第二象限，等价于a10，
6、a20，解得 a1.【点评】已知直线的方程，可以研究直线的倾斜角，斜率截距等.应注意讨论 x，y 系数为 0 的情况.展示2 已知直线 l1：xmy2m20，l2：mxy1m0，当 m 为何值时，(1)l1l2？(2)l1l2?【解析】(1)当 l1l2 时，1mm10，解得 m0.(2)当 l1l2 时，1mm12m21m，解得 m1.方法点拨：已知直线方程，研究直线性质时要注意分类讨论，如斜率是否存在，截距是否为 0.考点三 直线方程的综合运用示范3 已知直线 l 过点 P(2,1)且与 x，y 轴的正半轴分别交于点 A，B，(1)当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程；(2)当|PA|
7、PB|最小时，求直线 l 的方程分析 解题时应选用恰当的直线方程的形式解析 设 l：y1k(x2)，得A21k，0，B(0,12k)(k0)(1)S12(12k)21k124k 1k 2224，当且仅当4k 1k，即 k12时，S 最小，此时 l：x2y40 为所求(2)|PA|PB|1k21 44k221k2k224(k0)，当 k1 时取得最小值，此时 l：xy3 为所求【点评】本题第(1)问也可选用截距式方程，但截距式方程在解决第(2)问时稍显棘手选用恰当形式的方程很重要展示3 已知定点 P(6,4)与定直线 l1：y4x，过 P 点的直线 l与直线 l1 交于第一象限 Q 点，与 x
8、轴正半轴交于点 M，求使OQM 面积最小的直线 l 的方程【分析】直线 l 是过已知点 P 的旋转直线，可以选其斜率 k作为参数，也可选择点 Q(或点 M)作为参数，比较后发现，选斜率 k 作为参数，运算量稍大，选用点参数，运算量较小【解析】如右图所示，设 Q(x0,4x0)，M(m,0)，Q，P，M 共线，kPQkPM，即44x06x0 46m.解得 m 5x0 x01.x00，m0，x010.SOMQ12|OM|4x02mx0 10 x20 x01.令 x01t，则 t0，x0t1，S10t12t10t1t2 40，当且仅当 t1，即 x02 时，等号成立此时 Q(2,8)，直线 l：xy
9、100.方法点拨：考试时选择恰当的直线方程形式，选择适当的量如斜率 k、截距 b、角度 等作为参数，都需要仔细考虑，为后续解题营造方便.本课的主要考点有求直线的方程和利用直线的方程研究直线的性质解题时要根据已知条件选择适当形式的直线方程，注意应用分类讨论、数形结合的思想，以防漏解1(2011 浙江文)若直线 x2y50 与直线 2xmy60互相垂直，则 m_.【答案】1【解析】由122m 1，得 m1.2(2010 安徽文)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10【答案】A【解析】设直线方程为 x2yC0，则 120C0，C1
10、.故选 A.3(2010江苏)在平面直角坐标系中，如下图所示，已知椭圆x29 y25 1的左、右顶点为A，B，右焦点为F，设过点T(t，m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m0，y10，y20，(1)设动点 P 满足 PF2PB24，求点 P 的轨迹；(2)设 x12，x213，求点 T 的坐标【解析】(1)设点 P(x，y)，则 F(2,0)，B(3,0)，A(3,0)由 PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24.化简，得x92.故所求点 P 的轨迹为直线 x92.(2)将 x12，x213分别代入椭圆方程以及 y10，y20，得M2，53，N
11、13，209.直线 MTA 的方程为y0530 x323，即 y13x1，直线 NTB 的方程为 y0209 0 x3133，即 y56x52.联立方程组，解得x7，y103，所以点 T 的坐标为7，103.4(2011安徽理)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；直线l经过无穷多个整点，当且仅当直线l经过两个不同的整点；直线ykxb经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数；存在恰经过一个整点的直线【答案】【解析】令yx12，它既不与坐标标轴平行又不经过任何整点，命题正确若k 2，b 2，则直线y 2x 2经过点(1,0)，命题错误设直线l：ykx为过原点的直线，则此直线过不同的整点(x1，y1)和(x2，y2)，把两点代入直线l的方程，得y1kx1，y2kx2.两式相减，得y1y2k(x1x2)则(x1x2，y1y2)也在直线上且为整点通过这种方法得到的直线l经过无穷多个整点，命题正确又直线ykx通过上下平移得到直线ykxb，此时k，b不一定是有理数，命题不正确令直线y 2x，则它恰好经过整点(0,0)，命题正确综上，命题正确的序号有.