1、湖北省七市（州）联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z满足z（1i）=2（i是虚数单位），则z=( )A1+iB1+iC1iD1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：z（1i）=2，z（1i）（1+i）=2（1+i），z=1+i故选：A点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是( )ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）考点：复合命题
2、的真假 专题：简易逻辑分析：命题p为真命题，命题q为假命题，可得q为真命题，再利用复合命题真假的判定方法即可得出解答：解：命题p为真命题，命题q为假命题，q为真命题，p（q）为真命题，故选：B点评：本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题3集合M=x|x=sin，R，N=x|2x8，则MN=( )AB1，3CD考点：交集及其运算 专题：集合分析：利用正弦函数的值域求出x的范围确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的交集即可解答：解：由M中x=sin，R，得到1x1，即M=1，1，由N中不等式变形得：=2x8=23，即x3，N=，3，则MN=，1，故选：D点评：此题考查了交集及其
3、运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键4如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为 的正方形面积减去半径为 的四分之一圆的面积得到解答：解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，试验发生包含的所有事件是矩形面积S=22=4，空白区域的面积是2（4）=82，阴影区域的面积为4（82）=
4、24由几何概型公式得到P=1，故选B点评：本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，2015届高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答5已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y( )A有最小值3，最大值9B有最小值9，无最大值C有最小值8，无最大值D有最小值3，最大值8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2
5、x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小无最大值由，解得，即A（2，4）此时z的最小值为z=22+4=8，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )ABCD考点：函数的图象 专题：数形结合分析：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，结合图象逐项排除解答：解：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远
6、，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合；A：行走路线是离家越来越远，不符合；B：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；C：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；故选：D点评：本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，还要注意排除法在解题中的应用7已知点A（1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得，则直线l的倾斜角的取值范围是( )ABCDD考点：平面向量数量积的运算；直线的倾斜角 专题：平面向量及应用分析：先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出P（x，kx+2），所以能得到
7、的坐标，从而根据条件会得到关于x的不等式（1+k2）x2+4kx+30，要满足条件，该不等式便有解，从而0，这样便得到k，这样即可求出此时l倾斜角的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到，这两种情况的求并集即可解答：解：如图，（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；设P（x，kx+2）；=（1x，kx2）（1x，kx2）=（1+k2）x2+4kx+30；该不等式有解；=16k212（1+k2）0；解得k，或k；，且；（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；设P（0，y）；1y1；即存在P点使；而此时；综上得直线l的倾斜角的范围是故选：A点评：考查
8、直线的点斜式方程，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，一元二次不等式是否有解和判别式的关系，熟悉正切函数的图象，知道倾斜角的取值范围，注意不要漏了斜率不存在的情况8为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1，2，3，100；（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（）摸到白球且号数为偶数的学生；（）摸到红球且不喜欢数学课的学生如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )A88%B90%C92%
9、D94%考点：收集数据的方法 专题：计算题；概率与统计分析：先分别计算号数为偶数的概率、摸到白球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到白球且号数位偶数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得结论解答：解：由题意，号数为偶数的概率为，摸到白球的概率为=0.4，摸到红球的概率为10.4=0.6那么按概率计算摸到白球且号数位偶数的学生有1000.4=20个一共有26学生举手，则有6个摸到红球且不喜欢数学课的学生，除以摸红球的概率就是不喜欢数学课的学生60.6=10那么喜欢数学课的有90个，90100=90%，故选B点评：本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9已知
10、点F（c，0）（c0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=( )ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出解答：解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQl于Q，设双曲线的右焦点为F，P（x，y）由题意可知FF为圆x2+y2=c2的直径，PFPF，且tanPFF=，|FF|=2c，满足，将代入得x2+4cxc2=0，则x=2cc，即x=（2）c，（负值舍去）代入，即y=，再将y
11、代入得，=e21即e2=1+=故选：D点评：本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键10已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为偶函数，当x0，1时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）xb有三个零点，则实数b的取值集合是（以下kZ）( )A（2k，2k+）B（2k+，2k+）C（4k，4k+）D（4k+，4k+）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：由题意，画出函数f（x）的图象，利用数形结合的方法找出f（x）与函数y=x+b有三个零点时b的求值解答：解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x1）为
12、偶函数，当x0，1时，f（x）=，故当x1，0时，f（x）=，所以函数f（x）的图象如图g（x）=f（x）xb有三个零点，即函数f（x）与函数y=x+b有三个交点，当直线y=x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即 =x+b有2个相等的实数根，即 x2+bx1=0有2个相等的实数根由=0求得b=，数形结合可得g（x）=f（x）xb有三个零点时，实数b满足b，故此式要求的b的集合为（，）再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k，4k+），故选：C点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题二填空题：本
13、大题共7小题，每小题5分，共35分将答案填在答题卡相应位置上11对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，若y与x的回归直线方程为，则m=4x0123y11m8考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案解答：解：由题意，=1.5，=，样本中心点是坐标为（1.5，），回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为，=31.51.5，m=4故答案为：4点评：本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点12执行如下程序框图，输出的i=6考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图
14、，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=57时，不满足条件s30，退出循环，输出i的值为6解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，i=1，s=1，i=2满足条件s30，s=4，i=3满足条件s30，s=11，i=4满足条件s30，s=26，i=5满足条件s30，s=57，i=6不满足条件s30，退出循环，输出i的值为6故答案为：6点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题13用a，b，c表示空间三条不同的直线，表示空间三个不同的平面，给出下列命题：若a，b，则ab； 若，则；若b，b，则； 若c是b在内的射影，a且ac，则ab其中真命题的
15、序号是考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据空间直线和平面，平面和平面之间垂直和平行的性质分别进行判断即可解答：解：根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a，b，则ab成立，故正确；垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故错误解：根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a，b，则ab成立，故正确；垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故错误根据面面垂直的判定定理知，若b，b，则成立，故正确，c是b在内的射影，在b上一点B作BC，则C在直线c上，则BCa，ac，a平面BOC，则ab，故正确，故答案为：点评：本题主要考查空间直线和
16、平面平行或垂直的位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键14张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466485年间其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加尺（不作近似计算）考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意易知该女子每天织的布成等差数列，且首项为5，前30项和为390，由求和公式可得公差d的方程，解方程可得解答：解：由题意易知该女子每天织的布（单位：尺）成等差数列，设公差为d，由题意可得首项为5，前30项和为390，305+d=3
17、90，解得d=故答案为：点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题15在三棱锥PABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，侧面积为2，该三棱锥外接球表面积的最小值为4考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，根据球的表面积，求出球的直径，就是长方体的对角线长，设出三度，利用基本不等式求出三棱锥外接球的直径的最值，从而得出该三棱锥外接球的表面积的最小值解答：解：三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，因为三棱锥SABC的侧面积为2，设长方体的三同一点出发的三条棱长为：a，b，c，所以（SASB+
18、SASC+SBSC）=（ab+bc+ac）=2，ab+bc+ac=4，该三棱锥外接球的直径2R就其长方体的对角线长，从而有：（2R）2=a2+b2+c2ab+bc+ac=4，当且仅当a=b=c时取等号所以2R2R1，则该三棱锥外接球的表面积的最小值为4R2=4124故答案为：4点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，基本不等式的应用，考查空间想象能力，计算能力，三棱锥扩展为长方体是本题的关键16某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长
19、和长周长，再根据椭圆的性质a2b2=c2，和离心率公式，计算即可解答：解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，则椭圆的焦距=m，根据离心率公式得，e=故答案为：点评：本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题17记集合T=0，1，2，3，4，5，6，M=，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列bi，并将bi按如下规则标在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）处：点（1，0）处标b1，点（1，1）处标b2，点（0，1）处标b3，点（1，1）处标b4，点（
20、1，0）标b5，点（1，1）处标b6，点（0，1）处标b7，以此类推，则（1）b5=；（2）标b50处的格点坐标为（4，2）考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：（1）根据题意，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列bi，分子分别为6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，可得结论；（2）由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可解答：解：（1）根据题意，将M中的元素按从大到小的顺序排成数列bi，分子分别为6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，故b5=；（2）
21、从横轴上的点开始点开始计数，从b1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点第二周从b10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上8（周数1）令周数为t，各周的点数和为St=9+8（t1）=8t+1，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是b=2t1由于S1=9，S2=17，S3=25，S4=33，由于9+17+25=51，第50个格点应在第三周的倒数第二个点上，故其坐标为（4，2）故答案为：；（4，2）点评：
22、本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式三解答题：本大题共5小题，满分65分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18已知向量，函数f（x）=图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为（1）求的值，并求函数f（x）在区间0，上的单调递增区间；（2）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=1，cosC=，a=5，求b考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题：解三角形；平面向量及应用分析：（1）先求出f（x）=2sin（x+），而f（x）图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为其周期的四分之一
23、，这样即可求得=2，从而f（x）=2sin（2x+），写出f（x）的单调增区间，然后再找出0，上的单调递增区间即可；（2）由f（A）=1，能够求出A=，由cosC=求出sinC，而由sinB=sin（）即可求出sinB，而由正弦定理：，即可求出b解答：解：（1）；由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为，所以；令，解得，kZ；又x0，所以所求单调增区间为；（2）或；A=k或，（kZ），又A（0，）；故；由正弦定理得；点评：考查求函数Asin（x+）的周期的公式，并且知道该函数的对称轴与对称中心，以及能写出该函数的单调区间，数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，两角和的正弦公式，正弦定理19设数列
24、an前n项和为Sn，且满足a1=r，Sn=an+1（）试确定r的值，使an为等比数列，并求数列an的通项公式；（）在（）的条件下，设bn=log2an，求数列|bn|的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）通过n=1可得，通过n2时，得an+1=2an（n2），利用等比数列的性质可得，计算即得结论；（）通过（I）知bn=n6，分n6、n6两种情况讨论即可解答：解：（）当n=1时，当n2时，与已知式作差得an=an+1an，即an+1=2an（n2），欲使an为等比数列，则a2=2a1=2r，又，故数列an是以为首项，2为公比的等比数列，所以
25、；（）由（I）知bn=n6，若n6，若n6，点评：本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，对数的运算，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题20如图，点C是以A，B为直径的圆O上不与A，B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2（1）求证：OMBC；（2）当四面体SABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，求tan考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明BC平面SAC，BCSA，OM平行于SA，可得OMBC；（2）求出四面体SABC的体积最大时，取BC
26、的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN平面ABC，则=MAN，即可求tan解答：（1）证明：由于C是以AB为直径的圆上一点，故ACBC又SC平面ABC，SCBC，又SCAC=C，BC平面SAC，BCSA，O，M分别为AB，SB的中点，OM平行于SA，OMBC（2）解：四面体SABC的体积，当且仅当时取得最大值取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN平面ABC，则=MAN，点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21已知函数f（x）=xlnx，（1）求函数f（x）的单调区间和最小值（2）若函数F（x）=在1，e上的最
27、小值为，求a的值考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质 专题：导数的综合应用分析：（1）由已知得f（x）=lnx+1（x0），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和最小值（2）F（x）=，由此根据实数a的取值范围进行分类讨论，结合导数性质能求出a的值解答：解（本小题满分12分）（1）f（x）=lnx+1（x0），令f（x）0，即lnx1=lne1xe1=，x，+）同理，令f（x）0，可得x（0，f（x）单调递增区间为，+），单调递减区间为（0，由此可知y=f（x）min=f（）=（2）F（x）=，当a0时，F（x）0，F（x）在1，e上单调递增，F（x）min=F（1）=a=
28、，a=0，+），舍去当a0时，F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，若a（1，0），F（x）在1，e上单调递增，F（x）min=F（1）=a=，a=（1，0），舍去；若ae，1，F（x）在1，a上单调递减，在a，e上单调递增，F（x）min=F（a）=ln（a）+1=，a=e，1；若a（，e），F（x）在1，e上单调递减，F（x）min=F（e）=1，a=（，e），舍去综上所述：a=点评：本题考查函数的单调区间的最小值的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用22已知点A，B的坐标分别为（2，0），（2，0）直线AT，BT交于点T，且它们
29、的斜率之积为常数（0，1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C（1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；（2）若01，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1设直线l：x=my+1交曲线C于M，N，直线AM，BN交于点P（）当m=0时，求点P的坐标；（）求证：当m变化时，P总在直线x=4上考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设T（x，y），由直线的斜率公式，化简整理讨论即可得到曲线方程；（2）由于01，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求得焦点和ac为最小值，解得，进而得到椭圆方程，（）当m=0时，由x=1代入椭圆方程，即可得到P的坐标；（）设M（x1，y1
30、），N（x2，y2），联立及x=my+1，运用韦达定理和恒成立思想，即可得到定直线x=4解答：解：（1）设T（x，y），则，化简得，又A，B的坐标（2，0），（2，0）也符合上式，故曲线C：；当01时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为，当1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为；（2）由于01，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为，椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离，故，曲线C的方程为；（）联立解得或，当时，解得P（4，3），当时，由对称性知，P（4，3），所以点P坐标为（4，3）或（4，3）；（）以下证明当m变化时，点P总在直线x=4上设M（x1，y1），N（x2，y2），联立及x=my+1，消去x得：（3m2+4）y2+6my9=0，直线，消去y得，以下只需证明（） 对于mR恒成立而所以（）式恒成立，即点P横坐标总是4，点P总在直线x=4上，故存在直线l：x=4，使P总在直线l上点评：本题考查曲线方程的求法，主要考查椭圆的性质和方程的运用联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用，属于中档题