1、数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题（单选题，每小题5分，共计60分）1、函数的导函数 ( )A. B. C. D. 2.若曲线在点处的切线方程是,则()A. B. C. D. 3.定积分的值为( )A. B. C. D. 4.由,所围成图形的面积可表示为( )A. B. C. D. 5.设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，那么将弹簧由25cm伸长到40cm时拉力所做的功为( ) A. 25 J B. 22.5 J C. 27.5 J D. 26.5 J 6.已知定义在上的函数, ,若,则一定有( )
2、A. B. C. D. 7. 已知,则的最大值为( )A. 36 B. 18 C. 27 D. 无最大值8.定义域为的函数满足,且的导函数,则满足的的集合为( )A. B. C. 或 D. 9.已知三次函数在R上是增函数,则的取值范围是( )A. 或 B. C. D. 10.若函数,满足,则称,为区间上的一组正交函数,给出三组函数: ； ；.其中为区间上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.311.在同一直角坐标系中,函数与的图象不可能是( ) A B C D12.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共计20分）13.若,则 = _
3、；14. 定积分的值等于_;15.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是 .16.已知且,现给出如下结论:; ; .其中正确结论的序号是_.三、解答题（共计70分）17.（本小题10分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程;（2）直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标.18.（本小题12分）（1）计算函数,在区间上的定积分；（2）计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。xy019.（本小题12分）已知函数,其中,且曲线在点处的切线垂直于.（1）求的值;（2）求函数的单调区间和极值。20.（本小题12分）已知.（1）若在时有极值,求的值;（2）在（1）的条
4、件下,若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点,求实数的取值范围.21.（本小题12分）某个体户计划经销两种商品,据调查统计,当投资额为万元时,在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元,其中,.已知投资额为零时收益为零.（1） 求的值;（2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.22.（本小题12分）设函数,.（1）当 (为自然对数的底数)时,求的极小值;（2）若对任意,恒成立,求的取值范围.参考答案一、选择题1.答案： B2.答案： A解析：,曲线在点处的切线方程的斜率为,又切点在切线上,.故选A.3.答案：C4.答案：B解析：由,所围成
5、的图形为如图所示的阴影部分. 所以阴影部分的面积为.5.答案： B6.答案：C解析：,函数是上的减函数,.7.答案：A 求导可得。8.答案：B解析：令,为单调增函数,当时,即,故选B.9.答案： D解析： 由题意，得，且在上恒成立，故判别式，解得.10.答案：C解析：由得是奇函数,所以,所以为区间上的正交函数;由,所以不是区间上的正交函数;由得,是奇函数,所以,所以为区间上的正交函数.故选C.11.答案：D解析：当时,两函数图象为C所示,当时,由时,由得或的对称轴为.当时,由知D不对.当时,由知A,B正确.12.答案：B解析：,则,设,则,当时, ,函数单调递减;当时, ,函数单调递增;所以,
6、所以,故的取值范围是.二、填空题13.答案： - 414.答案： （定积分的几何意义来计算）15.答案：解析：因为的定义域为,又,由,得,据题意, 解得.16.答案：解析：,由,得,由,得或,在区间上是减函数,在区间上 是增函数,又,极大值,极小值,均大于零,或者,又,为函数的极值点,后一种情况不可能成立,如图,正确结论的序号是.三、解答题17.（本小题10分）答案：（1）可判定点在曲线上.在点处的切线的斜率为.切线的方程为 即（2）设切点坐标为,则直线的斜率为,直线的方程为.又直线过坐标点(0,0),整理得, ,得切点坐标,.直线的方程为,切点坐标为.18.答案： （1）解析： （2）19.
7、答案：（1）对求导得,由在点处切线垂直于直线 知, 解得;（2）由1问知,则,令,解得或.因不在的定义域内,故舍去.当时, ,故在内为减函数;当时, ,故在内为增函数;由此知函数在时取得极小值.20.答案： （1）,.由已知得,解得.（2）由1知,.由得.当变化时, 的变化情况如下表:+极大值极小值根据上表, 是函数的极大值点且极大值为是函数的极小值点且极小值为.根据题意结合图形可知的取值范围为.21.答案：（1）由投资额为零时收益为零, 可知, 解得. （2）由1可得,. 设投入经销商品的资金为万元, 则投入经销商品的资金为万元, 设所获得的收益为万元, 则 . ,令,得. 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减. 所以当时,函数取得最大值, 万元. 所以,当投入经销商品万元, 商品万元时, 他可获得最大收益,收益的最大值约为万元. 22.答案：（1）由题设,当时, ,则,当时, ,在上单调递减,当时, ,在上单调递增,当时, 取得极小值, 的极小值为.（2）对任意的,恒成立, 等价于恒成立. 设. 等价于在上单调递减. 由在上恒成立, 得恒成立, (对,仅在时成立),的取值范围是.