1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件2能根据已知条件判断两直线的平行与垂直3能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学学科素养1两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？提示不一定只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等2两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)k1k2
2、1l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l2思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于1吗？提示不一定若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在1已知A(2，0)，B(3，3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3B3CDBkAB3，lAB，kl3.2已知直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，则l1与l2()A平行 B垂直C重合 D非以上情况Bk1k221，l1l2.3l1过点A(m，1)，B(3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1l2，则m_0kl21，l1l2，kl11，m0.4若直线l1的斜率kl1m
3、，且l1l2，则直线l2的斜率为_或不存在若m0时，直线l2的斜率不存在若m0时，直线l2的斜率为.两直线平行关系的判定【例1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点A(2，1)，B(3，5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0，1)，F(2，1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0，5).解(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线
4、l2平行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.判断两条不重合直线是否平行的步骤1已知l1经过点A(3，3)，B(8，6)，l2经过点M，N，求证：l1l2.证明直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，因为k1k2，且kAN，所以l1与l2不重合，所以l1l2.两直线垂直关系的判定【例2】判断下列各题中l1与l2是否垂直(1)l1经过点A(1，2)，B(1，2)；l2经过点M(2，1)，N(2，1)；(2)l1的斜率
5、为10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(10，40)，N(10，40).解(1)k12，k2，k1k21，l1与l2不垂直(2)k110，k2，k1k21，l1l2.(3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90，则l1x轴k20，则l2x轴，l1l2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论2已知直线l1经过点A(
6、3，a)，B(a1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(2，a2).若l1l2，求a的值解设直线l2的斜率为k2，则k2.当a4时，l1的斜率不存在，k2，不符合题意；当a0时，l2的斜率为0，此时直线l1的斜率k1不符合题意；当a4且a0时，l1的斜率存在，此时k1.由k1k21，得1，解得a3或a4.当a3或a4时，l1l2.两直线平行与垂直的综合应用探究问题1已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断ABC的形状吗？提示如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得ABBC，即ABC90.ABC是以点B为直角顶点的
7、直角三角形2已知定点A(1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？提示以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则ACBC.设C(x，0)，则kAC，kBC，所以1，得x1或2，所以C(1，0)或(2，0).【例3】ABC的顶点A(5，1)，B(1，1)，C(2，m)，若ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值解因为A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7.1本例中若改为A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？解由于A为锐角，故B或C为直角若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，则1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1
8、，即1，得m2.综上可知，m3或m2.2若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若ABC为直角三角形，如何求解m的值？解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.,利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤1两条不重合的直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行积为1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想1下列说法正确的是()A若直线l1与l2
9、倾斜角相等，则l1l2B若直线l1l2，则k1k21C若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确2过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为()A垂直B平行C重合 D以上都不正确Ak1，k2，k1k21，两直线垂直选A.3若经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_由题意知，直线MN的斜率存在，因为MNl，所以kMN，解得m.4当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3，2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4，9)的直线平行解(1)由kABtan 1351，解得m或m1.(2)由kAB，且3，则，解得m或m3.(3)令2，解得m或m1.