1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线与平面垂直的定义(重点)2理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(难点)3理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学核心素养1直线与平面垂直定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面它们惟一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直
2、线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面相交，但不和平面垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0的角取值范围0，90思考：直线与
3、平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OABB平面OACC平面OBC D平面ABCC由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行 B垂直C. 相交不垂直 D. 不确定B一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边3在正方体ABCDA1B1
4、C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_45如图所示，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，B1B平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角由题意知，B1AB45，故所求角为45.直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，由已知SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC，所以SD平面ABC.(
5、2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD.又因为SDACD，SD，AC平面SAC，所以BD平面SAC.证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM.证明设圆O所在的平面为，PA，且
6、BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM. 由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM、BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM.直线与平面所成的角探究问题1若图中的POA是斜线PO与平面所成的角，则需具备哪些条件？提示需要PA，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样POA就是斜线PO与平面所成的角2空间几何体中，确定线面角的关键是什么？提示在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)
7、求直线A1B与平面BDD1B1所成的角证明(1)直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则AC，tan A1CA.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1，又BB1B1D1B1，A1C1平面BDD1B1，垂足为O.A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在RtA1BO中，A1OA1C1A1B，A1BO30，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30.在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值解连接AC
8、交BD于点O，过E作EO1AC交BD于点O1，易证AC平面BB1D1D，EO1平面BB1D1D，B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角设正方体的棱长为a，E是AB的中点，EO1AC，O1是BO的中点，EO1AO，B1O1，tan EB1O1.求斜线与平面所成角的步骤1线线垂直和线面垂直的相互转化：2证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面1直线l平面，直线m，则l与m不可
9、能()A平行B相交C异面D垂直A若lm，l，m，则l，这与已知l矛盾所以直线l与m不可能平行2垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直 B相交但不垂直C平行 D不确定A因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直选A.3如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120AABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cos ABO，即ABO60. 故选A.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.证明如图，连接AC，ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.
