1、河北省正中实验中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一选择题1. 下列说法中正确的有（ ）个：很小的数的全体组成一个集合：全体等边三角形组成一个集合；表示实数集；不大于3的所有自然数组成一个集合.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用集合的元素的特征判断.【详解】很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：全体等边三角形组成一个集合，故正确；表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，
2、然后再求出即可【详解】由题意得，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题3. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用一次函数，二次函数，反比例函数的单调性逐一分析即可.【详解】在(0,1)上,单调递增；单调递减；在(0,+)上单调递减，故在(0,1)上单调递减；在上单调递减，在上单调递增，故在(0,1)上不是单调递增函数，故选：A.【点睛】本题考查简单函数的单调性，属基础题，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数的单调性是解决此问题的关键.4. 集合，用列举法可以表示为（ ）A.
3、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】据题意可得是6的约数，然后逐一检验的各个取值是否是正自然数，从而确定的各个可能的取值，进而得到的各个可能的取值,即可得出的列举法表示.【详解】是6的约数，,得,得,得,得,得,与已知矛盾，故；,得；,得, 与已知矛盾，故得.故的值只能是，对应的值依次为即.故选：.【点睛】本题考查集合的描述法与列举法的转化，关键是根据数的整除性得到的可能的取值，根据的条件进一步确认的可能取值，进一步得到集合的元素.5. 函数的定义域为（ ）A. B. ，且C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据解析式可得关于的不等式组，其解集即为函数的定义域.【详解】由题设可得，故
4、或，故选：C.6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函数的概念判断.【详解】A. 因为定义域为R，定义域为，故不是同一函数；B. 定义域为R，定义域为R，故是同一函数；C. 定义域为R，定义域为，故不是同一函数；D. 定义域为R，定义域为，故不是同一函数；故选：B7. 已知函数在上是偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得函数在上是单调递增，在上是单调递减，进而根据单调性与偶函数性质即可得答案.【详解】解：因为函数在上是偶函数，在上是单调函数，所以函
5、数在上是单调函数，又因为，所以函数在上是单调递增，在上是单调递减，所以，故A，B，C选项错误， D选项正确.故选：D8. 已知为奇函数，且在上是递增的，若，则的解集是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据为奇函数，且在上是递增的，得到在也是递增的，然后再分和 求解.【详解】因为为奇函数，且在上是递增的，所以在也是递增的当时，；当时，故选：B9. 下列判断正确是( )A. 函数是奇函数B. 函数是偶函数C. 函数是偶函数D. 函数既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】分析】根据奇偶性定义判断，先看定义域，再看解析式，【详解】解：对于中，函数的定义域为，且，不关于原点
6、对称，所以是非奇非偶函数; 对于中，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;对于中，由得，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数;对于中，函数是偶函数，但不是奇函数.故选：.【点睛】本题考查了奇偶函数的定义，注意定义域，解析式两种思路判断，属于基础题10. 若函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先将函数化成，结合反例函数的单调性可求的取值范围.【详解】由题设可得，因为函数在区间单调递减，所以，故，故选：A .【点睛】易错点睛：已知含参数的函数在给定范围上的单调性求参数的取值范围时，既要考虑函数的单调性，也要考虑定义域满足的要求，后者
7、往往容易忽视.11. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）A. 4个B. 8个C. 9个D. 12个【答案】C【解析】【分析】根据函数值求出对应的两组的值，和，可知定义域中至少含有和中的一个数，至少含有和中的一个数，利用列举法计数，得到“孪生函数”的个数.【详解】解：令,解得，令，解得，函数解析式为，值域为的“孪生函数”的定义域中至少含有和中的一个数，至少含有和中的一个数，可能是，共9中不同的情况，故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，本质上考查函数定义域和值域的理解，属基础题.12. 给出定义：若(其
8、中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据定义可以得到，进而求得各个函数值，然后判定,根据，可以得到，即得值域，从而判定.【详解】因为，所以， ，正确；， ，错误 ；因为 ，故正确； 的定义域是，因为，所以，即值域是 ，故错误.综上，正确的命题个数为2个，故选：B.【点睛】本题考查新定义型函数的函数值和定义域值域问题，属中高档题.解决新定义问题，关键是明确定义含义，正确运用定义进行运算.对于抽象的概念，可先列举一些具体的数值进行理解
9、与归纳.本题易错点在区间端点是否可取上，难点在于整数的确定.二填空题13. 化简_.【答案】【解析】【分析】根据进行计算.【详解】,故答案为：.【点睛】本题考查根式的化简求值，关键是掌握.14. 函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据抽象函数定义域得到不等式，计算可得到答案.【详解】函数的定义域为，则函数的定义域满足，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了抽象函数定义域，意在考查学生对于定义域的理解掌握.15. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据二次函数和分式函数的单调性,结合函数的图象的平移变换求解即可.【详解】根据与在区间，上都是
10、减函数，的对称轴为，所以，的图象是由的图象向左平移一个单位得到的.在区间，上是减函数，则在上单调递减.所以所以，即的取值范围为故答案为：16. 设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当时，f(f(a)2即为，解得，所以；当时，f(f(a)2即为，因为恒成立，所以满足题意.所以f(a)2，则或 ，解得.故答案为：【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.三解答题17. 已知函数.（1）求与的值；（
11、2）若，求的值.【答案】（1）=，=；（2）a的值为：2，.【解析】【分析】（1）根据函数，先求得，再求，注意到，即可求得的值.（2）根据，分，讨论求解.【详解】（1）因为函数，因为，所以，,，.（2）当时，解得；当时，解得；当时，解得（舍去）；综上：a的值为：2，.【点睛】本题主要考查分段函数求值和已知函数值求参数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.关键在于求复合函数的函数值时，要遵循从内到外的顺序计算，分段函数的函数值的计算，要根据注意自变量的范围选择正确的解析式.已知函数值求自变量的值要注意分析自变量的各个取值范围.18. 设全集,已知集合（1）求；（2）记集合已知集合
12、若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过解不等式和方程求得集合M,N，再进行集合的补集、交集运算；（2）由（1）知集合，根据集合关系，得或，利用分类讨论求出的范围.【详解】（1） 且（2）由题意得,或当时, ,得;当时,解得综上所述,所求的取值范围为【点睛】该题考查的是与集合相关的参数的取值范围的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有集合的交集，集合的补集，以及集合之间的包含关系，正确得出其满足的式子是解题的关键.19. （1）计算：；（2）已知，求值：.【答案】(1);(2)6.【解析】【分析】（1）先将各个因式和为指数幂，然后根据指数幂的运算法则化简即可；（2
13、）根据指数运算性质先将已知条件平方求得再平方可得代入计算即可.【详解】（1）原式=；（2）.【点睛】本题考查指数幂的运算与化简求值，属中档题，（1）的关键在于先化成指数幂再按照指数幂的运算法则进行运算，（2）的关键在于利用平方法求得和.20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资万元时的收益为万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【答案】（1
14、），；（2）投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为万元.【解析】【分析】（1）设，结合题中的数据可求得、的值，进而可得出这两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元，可得出投资收益关于的解析式为，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，由此可得出结论.【详解】（1）依题意设，则，所以，；（2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元，当时，即当万元时，收益最大万元，故应投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为万元.【点睛】本题考查函数模型的实际应用
15、，考查了二次函数模型的应用，属于中等题.21. 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是.（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式.【答案】（1）（2）【解析】(1)因为是二次函数，不等式的解集是，所以可设,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a值，从而求出f(x)的解析式.（II）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可.解：（1）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（2）由（1）知，开口向上，对称轴当，即时，在上是单调递减，当时，在上是单调递减当，即时，在对称轴处取得最小值22. 设是定
16、义在上的函数，满足，当时，（）求的值，试证明是偶函数（）证明在上单调递减（）若，求的取值范围【答案】(1) ；证明见解析.(2) 证明见解析.(3) .【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，则，即，从而可得结果；(3)求得，可得，化为，从而可得结果.详解：（）令得令，令，则即是定义在上的偶函数（），设，则，即，即在上单调递减（），为偶函数，且在上单调递减，综上，的取值范围为点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.