1、2020-2021学年江苏省泰州中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若复数z满足z（2i）11+7i（i为虚数单位），则为（）A3+5iB35iC3+5iD35i2已知向量满足，则（）A3BC7D3三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）ABCD4在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，若这组数据的
2、中位数为6，则p4（）A0.5B0.4C0.2D0.15已知空间三个平面，下列判断正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则6已知点A（3m，m）是角的终边上的一点，则的值为（）ABCD7粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这
3、个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（）ABCD8在矩形ABCD中，AB3，BC2，设矩形所在平面内一点P满足，记，则（）A存在点P，使得I1I2B存在点P，使得I1I3C对任意点P，都有I1I2D对任意点P，都有I1I3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请将答案填涂到答题卡相应区域。9下列命题为真命题的是（）A若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3iC复数的共轭复数为2iD复数为2i的虚部为110在直角梯形ABCD中，CDA
4、B，ABBC，CD1，ABBC2，E为线段BC的中点，则（）ABCD11下列命题中是真命题的有（）A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在ABC中，若sin2Asin2B，则ABC是等腰三角形C在ABC中，若acosBbcosAc，则ABC是直角三角形D在ABC中，若，则cosC的值为或12如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SOOC2，则下列结论正确的是（）A圆锥SO的侧面积为B三棱锥SABC体积的最大值为CSAB的取值范围是D若ABBC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置
5、上，13某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是 14已知复数z满足|zi|1（i是虚数单位），则|z+i|的取值范围是 15若，则sin（302） 162008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是 四、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知复数z1a+3i，z22a
6、i（aR，i是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，求实数m的值18某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成75，80），80，85）85，90），90，95），95，100共五组后，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组75，80）第2组80，85）0.300第3组85，90）30第4组90，95）200.200第5组95，100100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图
7、（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率19已知三棱柱ABCA1B1C1中，底面A1B1C1是边长为2的正三角形，侧棱CC1底面A1B1C1，E为B1C1的中点（1）若G为A1B1的中点，求证：C1GAB1；（2）证明：AC1平面A1EB20某地实行垃圾分类后，政府决定为A，B，C三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30方向，M在B的北偏西30方向，且在C的北偏西60方向，
8、小区A与B相距2km，B与C相距3km（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离；（结果精确到小数点后两位）（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里a元（01）现有两种运输湿垃圾的方案：方案1：只用一辆大车运输，从M出发，依次经A，B，C再由C返回到M；方案2：先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后并各自返回到A、C，一辆大车从M直接到B再返回到M试比较哪种方案更合算？请说明理由（结果精确到小数点后两位，1.732，2.646）21ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知2b+c2acosC且（）求
9、角A的大小；（）若ABC的周长为，求ABC的面积；（）若，求cos（2BA）的值22如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2（1）证明：平面PBE平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值参考答案一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂到答题卡相应区域.1若复数z满足z（2i）11+7i（i为虚数单位），则为（）A3+5iB35iC3+5iD35i解：由z（2i）11+7i，所以所以故选：B2已知向量
10、满足，则（）A3BC7D解：，故选：D3三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）ABCD解：一共有27个小方块，其中边缘方块有12个，从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为：P故选：C4在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，若这组数据的中位数为6，则p4（）A0.5B0.4C0.2D0.1解：样本数据中只有1，3，5，7，没有
11、6，样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为5，7，样本数据中有一半是7，p40.5，故选：A5已知空间三个平面，下列判断正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则解：空间三个平面，对于A，若，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：D6已知点A（3m，m）是角的终边上的一点，则的值为（）ABCD解：点A（3m，m）是角的终边上的一点，tan，故选：B7粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等粽子由来久远，
12、最初是用来祭祀祖先神灵的贡品南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（）ABCD解：当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为r，如图，CD，CO，则h，正四面体的表面积S，由等体积法得，即r，解得r故选：C8在矩形ABCD中，AB3，BC2，设矩形所在平面内一点P满足，记，则（
13、）A存在点P，使得I1I2B存在点P，使得I1I3C对任意点P，都有I1I2D对任意点P，都有I1I3解：以C为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P点轨迹是以C为圆心，1为半径的圆；B（0，2），D（3，0），A（3，2），设P（x，y），则x2+y21，又，y1，1，2y46，2，I1I20，即 I1I2，又，不妨设xcos，ysin，则，其中，sin（）1，1，即I1I30，即I1I3，综上所述，对于任意点P，都有I1I2，I1I3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
14、.请将答案填涂到答题卡相应区域。9下列命题为真命题的是（）A若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3iC复数的共轭复数为2iD复数为2i的虚部为1解：若z1，z2互为共轭复数，设z1a+bi，z2abi，则z1z2a2+b2是实数，所以A正确；若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3i3i，所以b不正确；复数2i，所以复数的共轭复数为2+i，所以C不正确；复数为2i的虚部为1，满足复数的定义，所以D正确；故选：AD10在直角梯形ABCD中，CDAB，ABBC，CD1，ABBC2，E为线段BC的中点，则（）ABCD解：如图：作DOAB交AB于点O，可知
15、，由题意+，A对；+（+）+（）+，B对；21cos2，C错；（+）（+）+22+0+0+2116，D对故选：ABD11下列命题中是真命题的有（）A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在ABC中，若sin2Asin2B，则ABC是等腰三角形C在ABC中，若acosBbcosAc，则ABC是直角三角形D在ABC中，若，则cosC的值为或解：对于A：在ABC中，若AB，所以ab，利用正弦定理：则sinAsinB，故A正确；对于B：在ABC中，若sin2Asin2B，整理得2A2B或2A2B，故AB，A+B，则ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：在ABC中，若acosBbcosAc
16、，整理得：sinAcosBsinBcosAsinC，所以ABC，由于A+B+C，解得A，则ABC是直角三角形，故C正确；对于D：在ABC中，若，则，由于，所以，根据A的范围，故当cosB时，cosCcos（A+B）cosAcosB+sinAsinB，故D错误故选：AC12如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SOOC2，则下列结论正确的是（）A圆锥SO的侧面积为B三棱锥SABC体积的最大值为CSAB的取值范围是D若ABBC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为解：对于A，圆锥的底面半径与高均为2，则母线长l，圆锥的侧面积S，故A正确；对于B，当点B为弧AC的
17、中点时，底面三角形ABC面积最大为，此时三棱锥SABC体积的最大值为，故B正确；对于C，当B与C趋于重合时，SAB趋于，当B与A趋于重合时，SAB趋于，SAB的取值范围是（），故C错误；对于D，若ABBC，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，则ABC150，在SBC中，SBBC，由余弦定理可得：SC，即SE+CE的最小值为，故D正确故选：ABD三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上，13某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是 40解：根据题
18、意得：这个样本的容量是 10000.0440故答案为：4014已知复数z满足|zi|1（i是虚数单位），则|z+i|的取值范围是 1，3解：设za+bi，由|zi|1得a2+（b1）21，|a21（b1）2b2+2b，|z+i|，由a21（b1）2b2+2b0得0b2，|z+i|0，3故答案为：0，315若，则sin（302）解：，即，sin（302）cos90（302）cos（60+2）2cos2（30+）1故答案为：162008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正
19、方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是 12+6解：棱长为1的正方形的面积为111，正六边形的面积为6，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6438个，所以该多面体的表面积为8+6故答案为：12+6四、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知复数z1a+3i，z22ai（aR，i是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二
20、次方程x26x+m0的根，求实数m的值解：（1）z1a+3i，z22ai，在复平面内对应的点落在第一象限，解得2a3，即实数a的取值范围是（2，3）；（2）由虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，得，即（a+3i）26（a+3i）+m0，整理得a26a+m9+（6a18）i0，解得18某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成75，80），80，85）85，90），90，95），95，100共五组后，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组75，80）第2组80，85）0.300第3组85，90）30第4组
21、90，95）200.200第5组95，100100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率解：（1）第2组的频数为1000.30030，所以处应填的数为1003030201010，处应填的数为301000.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组
22、抽取的人数分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，设第3组的3位学生为A1，A2，A3，第4组的2位学生为B1，B2，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种情况抽到的2位学生不同组的有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2
23、，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共11种情况所以抽到的2位学生不同组的概率为19已知三棱柱ABCA1B1C1中，底面A1B1C1是边长为2的正三角形，侧棱CC1底面A1B1C1，E为B1C1的中点（1）若G为A1B1的中点，求证：C1GAB1；（2）证明：AC1平面A1EB【解答】证明：（1）侧棱CC1底面A1B1C1，C1G底面A1B1C1，CC1C1G，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BB1，BB1C1GG为正三角形A1B1C1的边A1B1的中点，C1GA1B1又BB1平面AA1B1B，A1B1平面AA1B1B，BB1A1B1B1
24、，C1G平面AA1B1BAB1平面AA1B1B，C1GAB1（2）记AB1A1BO，连EO三棱柱ABCA1B1C1中，AA1B1B是平行四边形，AB1A1BO，O为AB的中点，又B1AC1中，E为B1C1的中点，则EOAC1EO平面A1EB，AC1平面A1EB，AC1平面A1EB20某地实行垃圾分类后，政府决定为A，B，C三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30方向，M在B的北偏西30方向，且在C的北偏西60方向，小区A与B相距2km，B与C相距3km（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离；（结果精确到小数点后两位）（2）假设有大、小两种运
25、输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里a元（01）现有两种运输湿垃圾的方案：方案1：只用一辆大车运输，从M出发，依次经A，B，C再由C返回到M；方案2：先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后并各自返回到A、C，一辆大车从M直接到B再返回到M试比较哪种方案更合算？请说明理由（结果精确到小数点后两位，1.732，2.646）解：（1）在MBC中，MBC60，MCB90，BC3，所以垃圾处理站M与小区C间的距离为5.20公里（2）在MBC中，MBC60，MCB90，BC3，所以MB6又在MBA中，MBA60，AB2，MA2AB2+MB
26、22ABMBcos6028，方案一费用：y1a（|MA|+|AB|+|BC|+|CM|）a（5.292+2+3+5.196）15.488a，方案二费用：y22a|MB|+2a（|AB|+|BC|）（10+12）a，当y1y2时，方案二合算，此时00.34，当y1y2时，方案一合算，此时0.351，综上，当00.34时，方案二合算；当0.351时，方案一合算21ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知2b+c2acosC且（）求角A的大小；（）若ABC的周长为，求ABC的面积；（）若，求cos（2BA）的值解：（）因为2b+c2acosC，所以2b+c2a，整理可得：b2+c2a2b
27、c，由余弦定理可得：b2+c2a22bccosA，所以cosA，A（0，），所以可得A；（）由三角形的周长为+，a，所以b+c，由（）可得a2b2+c22bccosA（b+c）22bc2bccosA，而cosA，所以可得562bc+bc，可得bc1，所以SABCbcsinA1；所以ABC的面积为；（）由正弦定理可得：，b，a，A，所以sinBsinA，ba，所以B为锐角，所以cosB，所以sin2B2sinBcosB，cos2B2cos2B121，所以cos（2BA）cos（2B）cos2B+sin2B，所以cos（2BA）的值为：22如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，
28、BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2（1）证明：平面PBE平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：连接BD由四边形ABCD是边长为1的菱形，BCD60，可知BCD是正三角形E是CD的中点，BECD，又ABCD，PABE，PA底面ABCD，BE平面ABCD，PABE又AB平面PAB，PA平面PAB，ABPAA，BE平面PAB，又BE平面PBE，平面PBE平面PAB；（2）解：PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB又PA2，AB1，正三角形BCD中，BC1，E是CD的中点，BE平面PAB，PB平面PAB
29、，BEPB，VDPBEVPBDE，PA底面ABCD，设点D到平面PBE的距离为d，而，即点D到平面PBE的距离为（3）解：延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线取AD中点H，连BH，过B作BIPF，垂足为I，连HI由四边形ABCD是边长为1的菱形，BCD60，可知ABD是正三角形，H是AD的中点，BHADPA底面ABCD，BH平面ABCD，PABH又AD平面PAD，PA平面PAD，ADPAA，BH平面PAD，又PF平面PAD，BHPF，又BIPF，BH平面BHI，BI平面BHI，BHBIB，PF平面BHI，而HI平面BHI，PFHI，则BIH为二面角BPFA的一个平面角BH平面PAD，HI平面PAD，BHHI菱形ABCD中，DEAB，E为BF的中点，在RtPBF中，PBBF，BIPF，又，RtBHI中，即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为