1、1二项式定理：(AB)NC0nANC1nAN1BCknANkBkCnnBN，(AB)N的二项展开式共有 N1 项，其中各项的系数Ckn(k0,1,2，N)叫做 二项式系数，式中C kn ANkBk叫做二项展开式的 通项，用Tk1表示，即Tk1C kn ANkBk.(AB)N的展开式的第k1项为Tk1(1)kCknANkBk.2二项式系数的性质：(1)对称性：CmnCnmn.(2)增减性与最大值：当kn12 时，二项式系数是逐渐 增大 的；当kn12 时，二项式系数是逐渐 减小 的且在中间取得最 大 值当N是偶数时，中间一项取得最大值；当N是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值(3)二项式系数的
2、和：已知(1x)NC0nC1nxCnnxN，令x1，则 2N C0nC1nCnn.令x1，则0C0nC1nC2nC3n(1)NCnn.C0nC2nC1nC3n 2N1考点一二项展开式的通项公式示范1 (1)已知axx29的展开式中，x3的系数为 94，求常数A的值 (2)(2011天津)在x2 2x6的二项展开式中，x2的系数为()A154B.154 C38 D.38分析 通项公式Tr1C rn ANrBr中含有A，B，N，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式
3、，转化为解方程(或方程组)解析 答案(2)C【点评】求解时要注意二项式系数中N和r的隐含条件.N、r均为非负整数，Nr.展示1(1)试求(1x)6(1x)4的展开式中含x3项的系数；(2)求(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5(x1)6(x1)7(x1)8的展开式中x2的系数；(3)求(A2BC)7展开式中A2B3C2的系数【解析】(1)法一(1x)6(1x)4的展开式中含x3项的系数为C06(C34)C16C24C26(C14)C36C0443660208.法二(1x2)4(1x)2的展开式中含x3项的系数C 14(1)C 128.(2)法一 所求展开式中x2的系数为C22C23
4、C24(C28)C3998732184.法二(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)7(x1)8x1x191x11x(x1)(1x)9，所求展开式中x2的系数为C3984.(3)(A2BC)7的展开式中A2B3C2的系数为C27C35(2)3762 542(8)1 680.方法点拨：准确熟练地写二项式定理的通项公式，正确使用指数幂的运算法则整理通项，如AmANAmN，amanAmN，(Am)NAmN，等，是解题的关键考点二展开式中各项系数示范2(1)已知(12x)7A0A1xA2x2A7x7，求A1A2A3A4A7的值；求A1A3A5A7的值；求A0A2A4A6的值；求|A0|A1|A7
5、|的值(2)xax2x1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为_分析记(AxB)NA0A1xA2x2ANxNf(x)，则(1)A0A1A0ANf(1)；(2)A0A1A2A3(1)NANf(1)；(3)A0A2A4A6f1f12；(4)A1A3A5A7f1f12.解析(1)令x0，(120)7A0，A01；令x1，(12)7A0A1A2A7，A0A1A0A71；A1A2A7(A0A1A2A7)A0112；(A1A3A5A7)(A0A2A4A6)(12)7；(A1A3A5A7)(A0A2A4A6)(12)7；A1A3A5A712(137)；A0A2A4A612(137)；令x1，|
6、A0|A1|A7|(12)737.(2)令x1，则(1A)(21)52，A1.对于(2x1x)5的通项为Tr1Cr5(2x)5r(1x)r(1)rCr525rX52r，令52r1，及r3.令52r1，则r2.展开式的常数项为(1)3C3522(1)2.C2523408040【点评】所赋特殊值如何选取应视具体问题而定展示2 (1)设(x21)(2x1)9A0A1(x2)A2(x2)2A11(x2)11，则A0A1A2A11的值为_(2)(x2)2 008的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x 2时，S等于()A23 011 B23 011 C23 012 D23 012【答案】(1)2(
7、2)B【解析】(1)令x1，则(11)(1)9A0A1A2A11，即A0A1A2A112.(2)当x 2时，有A0(2)2 008A1(2)2 007A2 007(2)A2 0080，当x 2时，有A0(2)2 008A1(2)2 007A2 007(2)A2 00823 012.，有A1(2)2 007A2 007(2)23 012223 011.考点三二项式系数及二项式定理示范3 求9192除以100的余数分析 转化为二项展开式来求解析法一 9192(1009)921092C192100919C 2921009092C 9192100991992，前面各项均能被100整除，只有末项992不
8、能被100整除，于是可求992除以100的余数992(101)921092C1921091C2921090C9092102C919210(1)921092C1921091C2921090C90921029201(1092C 1921091C 2921090C 90921021000)81，被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.法二 9192(901)92C 0929092C 1929091C 9092902C9192901.由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C91929018281820081，被100除余81.【点评】用二项式定理证明整除问题
9、时，首先须注意(AB)N中，A、B中有一个必须是除数的倍数，其次，展开式的规律必须清楚余项是什么，必须写出，同理可处理余数的问题展示3(1)在(1x)N(NN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则N()A8 B9 C10 D11(2)已知x 33 xN展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则N等于()A4 B5 C6 D7【答案】(1)C(2)C【解析】(1)由题意，(1x)N的展开式中，x5的系数是第六项的系数，因它是二项式系数中最大的，N10.(2)令x1，则各项系数的和为4N，二项式系数和为2N.故有4n2n64，N6.方法点拨：利用二项式定理研究整除问题时，若除
10、数是m，则关键是把除式写成AmBN，其中A，B为整数.利用二项式定理证明不等式，可以考虑放缩.本课的主要考点有二项式的展开式和二项式系数的性质的应用，比较多出现在客观题，对指数幂的运算法则和赋值法的灵活运用考查较多在解答题中，利用二项式定理放缩证明不等式也较常见1(2010辽宁)(1xx2)x1x6的展开式中的常数项为_【答案】5【解析】x1x6的展开式Tr1Cr6(1)rx6r1xr，当r3，4时，(1xx2)x1x6展开式中有常数项所求为C36C4620155.2(2011陕西)(4x2x)6(xR)的展开式中的常数项是_【答案】15【解析】Tr1Cr6(4x)6r(2x)r(1)rCr6
11、212x2xrxr，令12x2xrxr0，得123r0，即r4.所求为(1)rC46651215.3(2011安徽)设(x1)21A0A1xA2x2A21x21，则A10A11_.【答案】0【解析】(x1)21A0A1xA21x21，A0C021，A1C121，A2C221，A3C321，A10C1021，A11C1121.A10A11C1021C11210.4(2011浙江)设二项式x ax6(A0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则A_.【答案】2【解析】Tr1Cr6x6r axr(1)rCr6x63r2 Ar，令63r2 0，得r4，即BC46A4.令63r2 3，得r2，即AC26A2.C46A44C26A2A24.A0，A2.