1、1一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2xixNPP1P2PiPN则称E(X)x1P1x2P2xiPixNPN 为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 若YAXB，其中A，B为常数，则Y也是随机变量因为P(YAxiB)P(Xxi)(i1,2，N)，所以Y的分布列如下表所示.YAx1BAx2BAxiBAxNBPP1P2PiPNE(Y)(Ax1B)P1(Ax2B)P2(AxiB)Pi(AxNB)PNA(x1P1x2P2xNPN)B(P1P2PN)AE(X)B，即E(AXB)AE(X)B.2设离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2xixNPP1P
2、2PiPN则D(X)ni1(xiE(X)2Pi，D(X)刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，我们称D(X)为随机变量X的 方差，其算术平方根 方差为随机变量X的 标准差，记作 X正态曲线有以下特点：(1)曲线位于 x 轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；(3)曲线在 x 处到达峰值1 2；(4)曲线与x轴之间的面积为 1；(5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散由P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.9
3、97 4，可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为 3 原则考点一期望与方差示范1一次单元测验由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙在测验中对每道题都从各选项中随机地选择一个分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值分析学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数服从二项分布解析设学生甲和学生乙在这次单元测验
4、中选对的题数分别是Z1和Z2，则Z1B(20,0.9)，Z2B(20,0.25)，所以EZ1200.918，EZ2200.255.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5Z1和5Z2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是：E(5Z1)5EZ151890，E(5Z2)5EZ25525.【点评】直接利用公式计算，简洁明了展示1已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX0，DX1，则A_.B_.X1012PABc112【解析】依题意，得 abc 1121，a0c2 1120，a0c22 1121.解得a 512，b14，c14.【答案】512 14 方法点拨：在计算期望与
5、方差时，应首先考察其分布是否为常见分布，如是常见分布如两点分布、二项分布等，其期望和方差可直接利用公式求，否则应先求分布列，再用定义计算.考点二期望与方差的实际应用示范2要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数Z1B(10,0.8)，第二名同学击中目标靶的环数是Z2Y4，YB(5,0.8)，请根据中靶环数的期望和方差比较两名同学的射击水平分析随机变量的均值反映了它取值的平均水平，随机变量的方差和标准差都反映了它取值的稳定与波动、集中与离散的程度解析 由题设知：EZ1100.88，EZ2EY450.848.又DZ110i0(i8)2C i100.
6、8i0.210i100.80.21.6，DZ2DY50.80.20.8.EZ1EZ2，DZ1DZ2，两名同学的平均射击水平没有差异；第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击稳定性较好【点评】通过比较方差得知第一名同学成绩波动较大展示2 甲、乙两同学参加培训，其成绩记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 84 93乙：92 95 80 75 83 80 90 85现要从中选一个参加竞赛，你认为选哪位合适？【解析】x 甲85，x 乙85，s 2甲35.5，s 2乙41，由于s 2甲s 2乙，x 甲 x 乙，则甲的成绩比较稳定，而水平相同所以选甲较合适考点三正态分布示范3某地农民的
7、年平均收入服从500元，20元的正态分布，(1)求此地农民的平均年收入在500520元之间的人数的百分比；(2)求此地农民年平均收入超过540元的人数的百分比参考数据：P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.分析决定一个正态分布的两个重要参数，必须明白其意义解析(1)P(500Z520)12P(480Z520)12P(540)P(Z460)121P(460Z540)121P(2Z2)12(10.9544)0.02282.28%.【点评】记住正态分布的简单性质展示3 (1)设随机变量服从标准正态分布N(0,1)，以(x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率已知(1.96)0.0
8、25，则P(|1.96)()A0.025 B0.05 C0.95 D0.975(2)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(0)()A0.16 B0.32 C0.68 D0.84(3)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)，若在区间(0,1)内取值的概率为0.4，则在区间(0,2)内取值的概率为_【答案】(1)C(2)0.16(3)A(4)0.8【解析】(1)N(0,1)且(1.96)0.025.P(1.96)0.025.P(1.96)10.0250.975.P(|1.96)P(1.96)P(1.96)0.9750.0250.95.(2)由P(4)0.84，得P(
9、4)0.16，P(0)P(4)0.16.(3)如图所示，易得P(01)P(12)故P(02)2P(01)20.40.8.方法点拨：熟练掌握正态分布曲线的特点及其意义，注意其对称性.离散型随机变量的均值、方差在考试中时有出现，难度均为容易题，只要理解离散型随机变量的期望与方差分别反映了离散型随机变量的取值平均水平与取值的集中、分散状况，能应用均值和方差的定义或常见分布的均值和方差的公式计算随机变量的均值和方差即可1(2010上海)已知随机变量的概率分布如下表所示，x78910P(x)0.30.350.20.15则随机变量的均值是_【答案】8.22(2011佛山一模)佛山某学校多功能室统一使用“佛
10、山照明”的一种灯管，己知这种灯管使用寿命(单位：月)服从正态分布N(，2)且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2，(1)求这种灯管的平均使用寿命；(2)假设一间多功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将己损坏的灯管换下，求至少两支灯管需要更换的概率【解析】(1)(，2)，P(12)0.8，P(2)0.023，则P(22)等于()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977【答案】C4(2011深圳一模)设随机变量XN(1,32)且P(X0)P(XA6)，则实数A的值为_【解析】随机变量X的平均值为1且P(X0)P(XA6)，由对称性，知0a621，即A8.【答案】8