1、人教版 八年数学上册 竞赛专题：分式的化简与求值（含答案）【例l】 已知，则代数式的值为 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”【例2】 已知一列数且，则为（ ）A648 B832 C1168 D1344 （五城市联赛试题） 解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路【例3】 求 （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程【例4】 已知求的值 （上海市竞赛试题） 解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，
2、将方程组化为简单的形式【例5】 不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数 解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明 （北京市竞赛试题）【例6】 已知为正整数，满足如下两个条件： 求证：以为三边长可以构成一个直角三角形 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答（全国初中数学联赛试题）能力训练1若，则的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2已知，则 （广东竞赛试题）4已知，则 5如果，那么（ ） A1 B2 C D（“新世纪杯”竞赛试题）6 设有理数都不为0，且，则的 值为（ ） A正数 B负数 C零 D不能确定7已知，则的值为（ ） A0 B1 C2 D不能确定8已知，则的值为（ ）A
3、1 B C D9设，求的值10已知其中互不相等，求证（天津市竞赛试题）11设满足，求证（为自然数）（波兰竞赛试题）12三角形三边长分别为（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若，判断这个三角形的形状并证明13已知，求的值 （“华杯赛”试题）14解下列方程（组）：（1）； （江苏省竞赛试题）（2）；（“五羊杯”竞赛试题）（3） （北京市竞赛试题）B级1设满足，若，则 2若，且，则 3设均为非零数，且，则 4已知满足，则的值为 5设是三个互不相同的正数，已知，那么有（ ）A B C D6如果，那么的值为（ ）A3 B8 C16 D208若，则的值为（ ） A B C5 D6（全国初中数学联
4、赛试题）9已知非零实数满足（1）求证：；（2）求的值 （北京市竞赛试题）10已知，且求的值（北京市竞赛试题）11 完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍， 求证：（天津市竞赛试题）13某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶
5、梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？ （江苏省竞赛试题）参考答案例1 提示：例2 A 提示：=，得k=，又例3 油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.设x-a=m，y-a=n，z-a=p，则m+n+p=0，即p=-（m+n）.原式=-例4 x= 提示：由已知条件知xy0，yz0，取倒数，得： 即+，得例5 提示：由已知条件，得=例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c，或b=a+c，或c=b+a，联立，只需
6、证a=16或或b16或c16，即（a16）（b16）（c16）0. 展开只需证明0abc16（abbcac）162（abc）163abc16（abbcac）163 将平方、移项，有a2b2c23222（abbcca），又将移项、通分，有0（）（）把代入等式中，0当a160时，由有a16bc，由勾股定理逆定理知，以，为三边长组成一个以为斜边的直角三角形.同理，当b16或c16时，分别有bac或cba，均能以，为三边长组成一个直角三角形.A级1. 0或22. 1，x4.又5，3.3 4. A5. C 提示：b 2c 2a22bc6. B7. C 提示：取倒数，得x1m，原式的倒数x3m38. 1
7、提示：2a2bc2a2b（ab）a2aba2b2（ab）（aab）（ab）（ac）9. 提示：由xy，得xy，得zy10. 提示：参见例5得（ab）（bc）（ac）011. （1），（bc）（abaca2bc）0.（bc）（ab）（ca）0.bc0，ab或ca.这个三角形为等腰三角形.（2），（abc）ac，（ab）（bc）0, ab或bc，这个三角形为等腰三角形.12. 3 x，y，c，1，原式3.13. （1）x（2）x（3）（x，y，z）（，）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. 1或8 提示：设k，则k1或2 3. 4. 0 提示：由1，得：x 5. A
8、6. C7. A 提示：由已知条件得x3y8. （1）由abc0，得abc a3b3c33ab（ab）3abc（2）（）1， 同理：（）1，（）1，左边3399. a24a10，a214a，a0. 3.把代入上式中，3，消元得3，解得m19.10. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则即解得x.11（1）设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级，则得S54（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编，走过楼梯n编，则女孩走过扶梯(m1)编，走过楼梯(n1)编，男孩上扶梯4x级/分，女孩上扶梯3x级/分，即，得6nm16，m，n中必有一个是正整数，且0mn1，m分别取值，则有m12345n2m166n，分别取值，则有m12n104显然，只有m3，n满足条件，故男孩所走的数32754198级男孩第一次追上女孩时走了198级台阶
