1、课时提升作业(十三)习题课函数奇偶性的应用(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于()A.0B.-1C.3D.-3【解析】选D.由题意知,f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.2.已知函数f(x)=x2,则下列描述中,正确的是()A.它是奇函数,且在(0,+)上单调递增B.它是偶函数,且在(0,+)上单调递增C.它是奇函数,且在(0,+)上单调递减D.它是偶函数,且在(0,+)上单调递减【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知,该函数是偶函数,且在(0,+)上单调递增.【补偿训
2、练】若函数f(x)=x3(xR),则函数y=f(-x)在其定义域上是()A.单调递增的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递减的偶函数D.单调递增的奇函数【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数,因为f(x)=x3单调递增,所以y=-x3单调递减.3.(2015唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间2,5上的最小值是6,那么f(x)在区间-5,-2上有()A.最小值6B.最小值-6C.最大值-6D.最大值6【解析】选C.因为奇函数f(x)在2,5上有最小值6,所以可设a2,5,有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在-5,-2上必有最大值,且其值为f
3、(-a)=-f(a)=-6.【补偿训练】如果偶函数在a,b上具有最大值,那么该函数在-b,-a上()A.有最大值B.有最小值C.没有最大值D.没有最小值【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在a,b上具有最大值,那么该函数在-b,-a上也有最大值.二、填空题(每小题4分,共8分)4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)=.【解析】由图象知f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.答案:05.(2015威海高一检测)如果定义在(-,0)(0,+)上的奇函数f(x)在(0,+)内是减函数,又有f(3)=0,则xf(x)0时,f(x
4、)3;当x0,所以x3或x-3.答案:x|x3三、解答题6.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x|x-2|,求x0时,f(x)的表达式.【解析】因为x0,所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|=x|x+2|.故当xf(-5)B.f(4)f(3)C.f(-2)f(2)D.f(-8)=f(8)【解析】选C. f(x)在0,+)上是减函数,且是奇函数,所以当x0时,f(x)f(0)=0;当xf(0)=0.【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(
5、x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(2,+)D.(-,-2)(2,+)【解析】选B.由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0,由对称性知,x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)b=f(-3),所以ab.答案:ab4.定义在R上的偶函数f(x)在0,+)上是增函数,则方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为.【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,所以x=3或x=1,所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.答案:4三、解答题5.(10分)(2015宿州高一检测)已知分
6、段函数f(x)是奇函数,x(0,+)时的解析式为f(x)=.(1)求f(-1)的值.(2)求函数f(x)在(-,0)上的解析式.(3)判断函数f(x)在(0,+)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.【解析】(1)f(-1)=-f(1)=-=-.(2)任取x(-,0),则-x(0,+),所以f(-x)=,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=,所以f(x)=,x(-,0).(3)函数f(x)在区间(0,+)上是增函数,证明如下:任取x1,x2为区间(0,+)上的两个不相等的实数,且x10,x20,所以(x2+1)0,(x1+1)0,又x2-x10,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在区间(0,+)上是增函数.