1、第七节 空间直角坐标系基础梳理1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系从空间一点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做_，x轴、y轴、z轴叫做_这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为_平面，_平面，_平面(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向_轴的正方向，如果中指指向_轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系坐标原点坐标轴xOyyOzxOzyz(3)空间直角坐标系中点的坐标空间中任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、
2、y轴和z轴分别交于E、F、G，E、F、G在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，则有序数对(x，y，z)叫做点A的坐标，记作_A(x，y，z)(4)中点坐标公式平面中点坐标公式可推广到空间，即设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2的中点P的坐标为_121212222xx yy zz2.空间中两点间的距离公式：空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|_.特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点O之间的距离|OP|_.222121212xxyyzz 222xyz基础达标1.已知点M(2,0,2)，N(1,2，1),则MN的中点P的
3、坐标为_31,1,222.点A(1,2,13)到平面xOy的距离为_解析：竖坐标的绝对值即为点到平面xOy的距离，所以距离为13.133.(教材P111习题第6题改编)已知点A(4，3,6)，则点A关于原点的对称点的坐标为_ 解析：类比平面直角坐标系中关于原点对称的规律，点A关于原点的对称点的坐标为(4,3，-6)(4,3，-6)4.(教材P111习题第6题改编)在空间直角坐标系中，点(3，5，8)关于xOz平面对称的点的坐标为_ 解析：关于xOz平面对称的点的坐标特点为：纵坐标互为相反数，横坐标、竖坐标不变，所以填(3,5,8)(3,5,8)5.(教材P111习题第4题改编)已知点M(2，1
4、,7)，在z轴上求一点N，使MN，则点N的坐标为_30(0,0,2)或(0,0,12)解析：设N(0,0，a)，MN=解得a=2或12，所以点N的坐标为(0,0,2)或(0,0,12)22221730a 经典例题【例1】(2010南京模拟)如图所示，在直角梯形OABC中，COAOAB，OAOSAB1，OC4，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ONNC13，以OC，OA，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.(1)试写出点A、B、C、S、M、N的坐标；(2)求线段MN的长2分析：确定每一点的横坐标、纵坐标和竖坐标解：(1)由题可知S(0,0,1)，C(4,0,0)，A
5、(0,1,0)，B(1,1,0)，因为点M是棱SB的中点，所以由中点坐标公式可得M ，又ONNC=13，所以N(1,0,0)(2)根据两点间的距离公式MN=1 1 1,2 2 222211131002222【例2】已知点A(2,4,3)，点B与点A关于平面xOz对称，点C与点 A关于z轴对称，求点B和点C的坐标，以及B，C两点间的距离题型二 空间中的对称问题分析：点P(x，y，z)关于平面xOz对称的点的坐标为(x，-y，z)；关于z轴对称的点的坐标为(-x，-y，z)解：点A关于平面xOz对称的点B的坐标为(2，-4，-3)，点A关于z轴对称的点C的坐标为(-2，-4，-3)，则BC=222
6、22004 求点A(3,2，1)关于x轴及平面xOy的对称点B，C的坐标，以及B，C两点间的距离变式21解析：点A(3,2，-1)关于x轴对称的点B的坐标为(3，-2,1)，关于平面xOy的对称的点C的坐标为(3,2,1)，所以BC=22202204 分析：y轴上的点的坐标为(0，y,0)，若MAB为等边三角形，则MA=MB=AB，利用两点间距离公式求得y.【例3】在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)，试问在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标题型三 空间中两点间距离公式的运用解：假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使MAB为等边三角形利用两点间距离公式可求得恒有MA=MB=AB，就可以使得MAB是等边三角形因为MA=MB 22223 001 010yy 于是解得y=故y轴上存在点M使MAB为等边三角形，此时点M的坐标为或.102221 3003 120AB 21020y(0,10,0)(0,10,0)