1、一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D非以上答案答案：C2“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而y()x是指数函数(小前提)，所以函数y()x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析：选A.推理形式没有错误，而大前提“yax是增函数”是不正确的，当0a1时，yax是减函数；当a1时，yax是增函数3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类
2、比猜想：正四面体的内切球切于四个面()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心故选C.4已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A. B.C. D.解析：选B.Snn2an(n2)，a11，S24a2a1a2a2.S39a3a1a2a3a3.S416a4a1a2a3a4a4.猜想an.5下面四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN*)中，当n1时式子值为1B式子1kk2k
3、n1(nN*)中，当n1时式子值为1kC式子1(nN*)中，当n1时式子值为1D设f(x)(nN*)，则f(k1)f(k)解析：选C.A错，n1时式子值为1k；B错，n1时式子值为k01；C正确；D错，f(k1)f(k).6已知aR，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C2(n1) Dnn解析：选D.把4个答案分别用n1,2,3检验即可求得，故应选D.7观察：52124,72148,1121120,1321168，所得的结果都是24的倍数，继续试验，则有()A第一个出现的等式是：1521224B一般式是：(2n3)214(n1)(n2)C当试验一直继续下去时，一
4、定会出现等式1012110 200D24的倍数加1必是某一质数的完全平方解析：选C.所给等式左边都是一个大于3的质数的平方减1的形式，故选项A、B错误，选项C正确对于选项D，可举反例，比如243173就不是一个质数的完全平方8在ABC中，A、B、C分别为a、b、c边所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的范围是()A(0， B(0，C(0， D(，)解析：选B.a，b，c成等差数列，ac2b，cos B.余弦函数在(0，)内单调递减，故0B.故选B.9已知集合A3m2n|mn且m，nN，若将集合A中的数按从小到大排成数列an，则有a131203，a232209，a3322111，a43327，
5、依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为()a1a2a3a4a5a6A247 B735C733 D731解析：选C.由条件可以看出，第s行第t个数是3s2(t1)，所以第六行第三个数应为362(31)7294733.10.设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若正数a，b，c，d满足ab4，cd4，则()Aab2，cd2Bab2，cd2Cab2，cd2Dab2，cd2解析：选C.根据题意知，ab表示a，b中较小的，ab表示a，b中较大的因为2ab4，所以ab4.又因为a，b为正数，所以a，b中至少有一个大于或等于2，所以ab2.因为cd4，c，d为正数，所以c，d
6、中至少有一个小于或等于2，所以cd2.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.解析：由等差数列的性质可知am1am12ama，am2，又S2m1(a1a2m1)2am(2m1)am38，2m119，m10.答案：1012若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2，即f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k
7、2)213如图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是_，53的“分裂”中最小的数是_解析：依题意推知：因此52的“分裂”中最大的数为9,53的“分裂”中最小的数为21.答案：92114在ABC中， a，b，c分别是角A，B，C的对边，则abcos Cccos B，类比到空间图形：在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PAC与底面ABC所成的二面角分别为，v，相应的结论是_解析：平面图形的边类比到空间是面，平面图形三角形的角类比到空间图形是二面角，则易得结论是SABCSPABcos SPBCcos SPACcos v.答案：SABCSPA
8、Bcos SPBCcos SPACcos v15已知等差数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S18，S220，S336，S465，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为_解析：显然S1是正确的假设后三个数均未算错，则a18，a212，a316，a429，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为56.答案：S456三、解答题(本题共5小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直证明：假设AC平面SOB，因为直
9、线SO在平面SOB内，所以SOAC，SO底面圆O，SOAB，ABACA，SO平面SAB.平面SAB底面圆O，这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直17已知a0，b0,2cab，求证：cac.证明：要证cac，只需证ac，即证|ac|，只需证(ac)2()2，只需证a22acc2c2ab，即证2aca2ab，因为a0，所以只需证2cab.因为2cab成立所以原不等式成立18某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin2 13cos2 17sin 13cos 17；sin2 15cos2 15sin 15cos 15；sin2 18
10、cos2 12sin 18cos 12；sin2(18)cos2 48sin(18)cos 48；sin2(25)cos2 55sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：法一：(1)选择式，计算如下：sin2 15cos2 15sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2 cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2 cos2(30)sin cos(30)sin2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin
11、 30sin )sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .法二：(1)同法一(2)三角恒等式为sin2 cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2 cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2 cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.19在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)，求a2，a3，a
12、4与b2，b3，b4的值，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论解：由条件得2bnanan1，abnbn1.又a12，b14，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425，猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明当n1时，a12，b14，结论成立假设nk时结论成立即akk(k1)，bk(k1)2.那么nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k1)1bk1(k2)2(k1)12，nk1时，结论也成立由和知，ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立20已知各项均为正数的两个数列anbn满足：an1，nN*.(1)设bn11，nN*，求证
13、：数列()2是等差数列；(2)设bn1，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值解：(1)证明：由题设知an1，所以 ，从而()2()21(nN*)，所以数列()2是以1为公差的等差数列(2)因为an0，bn0，所以ab(anbn)2，从而1an1 .(*)设等比数列an的公比为q，由an0知q0.下证q1.若q1，则a1a2，故当nlogq时，an1a1qn，与(*)矛盾；若0q1，则a1a21，故当nlogq时，an1a1qn1，与(*)矛盾综上，q1，故ana1(nN*)，所以1an.又bn1bn(nN*)，所以bn是公比为的等比数列若a1，则1，于是b1b2b3.又由a1得bn，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾所以a1，从而bn.所以a1b1.