1、专题强化训练(二)函数及其基本性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知函数f(x)=+(x-2)0的定义域是()A.1,+)B.(1,+)C.(1,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)【解析】选C.要使函数有意义,需要满足所以x1且x2.2.设集合A=-1,3,5,若f:x2x-1是集合A到集合B的映射,则集合B可以是()A.0,2,3B.1,2,3C.-3,5D.-3,5,9【解析】选D.注意到题目中的对应法则,将A中的元素-1代入得-3,3代入得5,5代入得9.3.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是()A.f(x)=9x+8B.f(x
2、)=3x+2C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4【解析】选B.f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,所以f(t)=3t+2,即f(x)=3x+2.4.设函数f(x)=若f()=4,则实数=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2【解析】选B.当0时,f()=-=4,得=-4;当0时,f()=2=4,得=2.所以=-4或2.5.若函数f(x)=为奇函数,则a=()A.1B.C.D.【解析】选D.因为f(-x)=-f(x),所以=-,所以(2a-1)x=0,所以a=.6.(2015石家庄高一检测)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数
3、y=f(x)g(x)的图象可能是()【解析】选A.由于函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-,0)(0,+),所以函数图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)0且g(x)0,故f(x)g(x)0,则f(x)的定义域是.(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数,则实数a的取值范围是.【解析】(1)当a0且a1时,由3-ax0得x,即此时函数f(x)的定义域是.(2)当a-10,即a1时,要使f(x)在(0,1上是减函数,则需3-a10,此时1a3.当a-10,即a0,此时a0),若对任意的x1-1,2,存在x0-1,2
4、,使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是.【解析】设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),在-1,2上的值域分别为A,B,由题意可知:A=-1,3,B=-a+2,2a+2,所以所以a,又因为a0,所以02时,图象是顶点为P(3,4)的抛物线的一部分.(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象.(2)求函数f(x)在2,+)上的解析式.(3)写出函数f(x)的单调区间.【解析】(1)图象如图所示.(2)当x2时,设f(x)=a(x-3)2+4(a0).因为f(x)的图象过点A(2,2),所以f(2)=a(2-3)2+4=2,所以a=-2,所以f(x)=-2(x-3)2+4.
5、(3)由f(x)的图象知,f(x)的单调递减区间为(-,-3和3,+),单调递增区间为-3,3.11.已知函数f(x)=,且f(1)=2,(1)证明函数f(x)是奇函数.(2)证明f(x)在(1,+)上是增函数.(3)求函数f(x)在2,5上的最大值与最小值.【解析】(1)f(x)的定义域为x|x0,关于原点对称,因为f(1)=2,所以1+a=2,即a=1f(x)=x+,f(-x)=-x-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)任取x1,x2(1,+)且x1x2.f(x1)-f(x2)=x1+-=(x1-x2).因为x1x2,且x1,x2(1,+),所以x1-x21,所以f(x1)-f(x2
6、)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,+)上为增函数.(3)由(2)知,f(x)在2,5上是增函数,所以f(x)在2,5上的最大值为f(5)=,最小值为f(2)=.【补偿训练】已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=2.(1)求a,b的值.(2)判断函数f(x)在(-,0)上的单调性.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,所以-ax+b=-ax-b,所以b=0,又f(1)=2,所以=2,所以a+b=1,所以a=1.(2)f(x)=x+,任取x1x20,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=,当x1x2-1时,x1-x21,x1x2-10,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(-,-1上为增函数.同理,当-1x1x2f(x2),所以函数f(x)在(-1,0)上为减函数.