1、1等差中项若三个数 a，b，c 成等差数列，那么 b 叫做 a 和 c 的_，即 bac2.2性质(1)若 p，q，S，tN*，pqSt，则 apaq_(2)设 Sn 是等差数列前 n 项和，则 Sn，S2nSn，_，也成等差数列等差中项aSatS3nS2n3设数列an的前 n 项和为 Sn，则(1)an ，n1，n2；(2)ak1ak2anSn_(nk)S1SnSn1Sk考点一等差数列性质的应用示范1 已知等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为100，则它的前 3m 项和为()A130 B170 C210 D260分析 本题既可用求和公式，也可以用性质(2)解析 法一 将 Sm
2、30，S2m100 代入 Snna1nn12d，得ma1mm12d30，2ma12m2m12d100，解得 d40m2，a110m20m2.S3m3ma13m3m12d210.法二 根据等差数列性质，知 Sm，S2mSm，S3mS2m 也成等差数列，从而有 2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，S3m3(S2mSm)210.答案 C展示1 已知一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中，偶数项和与奇数项和之比为 3227，求公差 d.分析 用 d 表示所有项的和、奇数项的和、偶数项的和，然后列方程组【解析】法一 设这个数列的首项为 a1，则 a2n1a2n12d，a2n2a2n2d
3、(nN*)于是数列a2n1，a2n分别成等差数列由已知，得12a166d354，6a2152d6a1152d3227，即2a111d59，5a12d.解得 d5.法二 设偶数项与奇数项之和分别是 S 偶和 S 奇，则S偶S奇354，S偶S奇3227.解得S偶192，S奇162.S 偶S 奇6d，6d30，d5.点评法一把问题归结为求首项与公差，这是常规解法；法二运用整体思想，简捷地得出正确结果方法点拨：在等差数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，也为等差数列；若数列an为等差数列，则数列a2n1，a2n，a3n，a3n2，也为等差数列考点二等差数列中求和问题示范2 已知数列an，an2n
4、25，当 Sn 最大时，n 为何值？解析 法一 显然 an1an0，an为递减数列当an0，an10时，232 n252，故 n12.Sn 最大时，n12.法二 显然 a123，an1an2，an是等差数列，Sna1an2n23252n2nn(24n)，而 f(x)x(24x)的对称轴为 x12，开口向下，Sn 最大时，n12.展示2 已知等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，给出下列四个命题：数列为等比数列；若 a2a122，则 S133；Snnannn12d；若 d0，则Sn 一定有最大值其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)【答案】【解析】考点三等差数列中的
5、列举、猜想与证明示范3 若数列an是等差数列，数列bn满足：bnanan1an2(nN*)，数列bn的前 n 项和用 Sn 表示，若数列an满足 3a58a120，当 n 多大时，Sn 取得最大值？证明你的结论分析 要判断 Sn 何时最大，必须探讨数列bn中的项的正负关系解析 3a58a120，3a58(a57d)，解得 a5565 d0，d0 且 a1765 d.故an是首项为正数的递减数列由an0，an10，即765 dn1d0，765 dnd0，解得 1515n1615，n16，即 a160，a170，a1a2a160a17a18，b1b2b140b17b18，而 b15a15a16a1
6、70，b16a16a17a180，S14S13S1，S14S15，S15S16，又 a1565d0，a1895d0，a15|a18|，|b15|b16，即 b15b160，S16S14，故 n16 时，Sn 最大展示3 已知数列an的前 n 项和 Sn12n22n(nN*)，数列bn满足 bnan1an(nN*)，(1)判断数列an是否为等差数列，并证明你的结论；(2)求数列bn中值最大的项和值最小的项【分析】由于数列是特殊的函数，求数列的最大项类似于求数列的最大值，但由于数列的自变量为正整数集的子集，故数列最大项的求法与函数又有所不同；通常通过研究 an1an(或 anan1)的符号来判断数
7、列 an 的项的变化情况【解析】Sn12n22n，a1S112232.当 n2 时，anSnSn112n22n12n122n1n52.a132也适合上式，ann52.an1ann152n52 1(常数)，数列an是以32为首项、1 为公差的等差数列(2)法一 ann52，bn1 1an1 1n52.函数f(x)1 1x52在区间，52 及52，上分别为减函数，1b1b2，b3b4b51.数列bn中，值最大的项是 b33，值最小的项是 b21.法二 bn1 1an1 1n52，bn1bn1 1n321 1n52 1n32 1n521n32 n52.b2b11，当 n3 且 nN*时，bn1bn
8、且 bn1.又 b33，数列bn中，值最大的项为 b33，值最小的项为 b21.展示4 已知数列an的通项为 ann2cos2n3 sin2n3，令 bna3n2a3n1a3n，(1)求 b1，b2；(2)求证：数列bn是等差数列；(3)求数列bn的前 3n 项和 S3n.【解析】(1)b1a1a2a3132，b2a4a5a6312；(2)bn1bn(a3n1a3n2a3n3)(a3n2a3n1a3n)9，数列bn是等差数列(3)S3nb1b2bnnb1nn129n9n42.方法点拨：数列是特殊的函数，因此数列中一些问题的研究与函数有一定的联系，如数列中的最大、最小项问题，数列的单调性问题等都
9、可以借助于函数知识研究.1合理使用等差数列前 n 项和公式 SnAn2Bn.2数列创新题可先列举、猜想，再加以证明3已知 Sn 求 an，应注意 n1 与 n2 分段表达4数列本质上讲是离散函数，所以必要时可考虑函数的方法1(2010福建理)设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6.解得d2.所以Sn11nnn122n212n(n6)236.故当n6时，Sn取最小值2(2010安徽理)设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0，求证：数列an为等差数列的
10、充分必要条件是对任何nN，都有 1a1a2 1a2a31anan1na1an1.【解析】本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力先证必要性设数列an的公差为d，若d0，则所述等式显然成立若d0，则 1a1a2 1a2a31anan11da2a1a1a2 a3a2a2a3 an1ananan11d1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an11d1a1 1an1 1dan1a1a1an1 na1an1.再证充分性依题意，有 1a1a2 1a2a31anan1na1an1，1a1a2 1a2a31anan11an1an2 n1a1an2.，得1an1an2 n1a1an2na1an1.在上式两端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1.，得2nan1n(an2an)即an2an1an1an.所以数列an是等差数列