1、应县一中2013-2014学年高二上学期第三次数学理试题时间：120分钟 满分：150分 一选择题（共12题，每题5分）1.已知命题p：任意xR，x2x60 D.存在xR，x2x602设集合Mx|0x3，Nx|0x2，那么“aM”是“aN”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.判断每个图下面的方程哪个是图中曲线的方程()4空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直5两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1(1，1,2)，v
2、2(0,2,1)，则l1与l2的位置关系是()A平行B相交 C垂直 D不确定6对空间任意一点O，若，则A，B，C， P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D与O点的位置有关7在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a， b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z 使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D38若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的()A逆否命题B逆命题 C否命题 D原命题9已
3、知 (1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A，4 B，4C，2,4 D4，1510已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.11.已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（ ）ABCD 12、若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D二填空题（共4题，每题5分）13如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则向量 用a,b,c可表示为_14.已知两定点A（-2，0
4、），B（1，0），如果动点P满 足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积 等于_15.二面角l为60，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，则CD的长为_16.如上图，C是半圆弧（）上一点，连接并延长至，使，则当点在半圆弧上从点移动到点时，点所经路程为_ 三解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离。18如图，在四棱锥PABCD中，P
5、A平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，BAD60.(1)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值(2)求PB与AC所成角的余弦值；19.若实数x，y满足(x2)2y23.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)(x4)2(y3)2的最大值和最小值.20如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角Q BP C的余弦值21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角A PB C的余弦值22如图所示，在立方体
6、ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？ 若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长高二数学月考三答案2013.1117.解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。4分（2）（方法一）分
7、别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。6分（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC
8、=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。（方法三）向量法亦可18.【答案】(1)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.因为PAACA，所以BD平面PAC.所以PB在平面PAC的射影为，所以BPO即为所求SinBPO=/4 6分（利用向量也可）(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设PB与AC所成角为，则cos12分20.解如图，以D为坐标原点，
9、线段DA的长为单位长射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz.(1)证明依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)， P(0，2，0)，则(1， 1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)所以0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 5分21.证明(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD，故PABD. 5分(2)解如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射 线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0
10、，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)(1，0)，(0，1)，(1，0，0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.12分22.解：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a，0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1. 4分(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0
11、)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，则y，za，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.8分(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos .二面角AB1EA1的大小为30，|cos |cos 30，即，解得a2，即AB的长为2. 12分