1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式(重点)2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明(重点)3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用(难点、易混点)1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理素养.2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.1二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的变形3正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1sin
2、2(sin cos )2.思考：用tan 能表示sin 2和cos 2吗？提示可以sin 22sin cos .cos 2cos2sin2.1.()ABC. D.D原式cos2sin2cos.2sin 15cos 15 .sin 15cos 152sin 15cos 15sin 30.3.cos2 .cos2cos.4若tan 2则tan 2 .tan 2.给角求值【例1】(1)cos4sin4等于()ABC. D.(2)求下列各式的值12sin2750；coscos.(1)D原式cos2sin2cos.(2)解原式cos(2750)cos 1 500coscos 60.原式tan(2150)
3、tan 300tan(36060)tan 60.原式.对于给角求值问题一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.1求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2).解(1)cos 36cos 72.(2)原式4.给值求值、求角问题探究问题1公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？提示：主要变形有：1sin 2sin2co
4、s22sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2，cos2，sin2.2如何在倍角公式中用22()解题？提示：(1)sin 2coscos2cos2112sin2；(2)cos 2xsinsin2sincos；(3)cos 2xsinsin2sincos.【例2】(1)已知，且sin 2sin，求.(2)已知sin，0x，求的值思路点拨：(1)2，用诱导公式联系求解(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解解(1)sin 2cos12cos2，sinsincoscos，原式可化为12cos2cos，解得cos1或cos.，故0或，即或.(2)0x，sin，x，cos，(cos x
5、sin x)2cos.1若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？解sincos xsin x，平方得sin 2x，sincoscos，所以.2若本例(2)中的条件变为tan，其他条件不变，结果如何？解因为tan，所以sincos，又sin2cos21，故可解得cos，原式2cos.解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.化简、证明问题【例3】(1)化简： .(2)证明：4.思路点拨：(1)通分变形(2)(1)tan
6、 2原式tan 2.(2)证明：左边4右边，所以原等式成立证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.证明(1)左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsi
7、n 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立(2)法一：左边cos2cos2sin2cos 2右边法二：右边cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左边.1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍(nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：1cos 22cos2；cos2；1cos 22sin2；sin2. 1下列说法错误的是()A6是3的倍角，3是的倍角B二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角C存在角，使得sin 22sin 成立D对任意角，总有tan 2DA正确，中二倍角的正弦、余弦公式适用任意角，正切公式的适用范围是，2k(kZ)，故B对，D错；C中若k(kZ)时等式成立2若sin 3cos ，则 .66.3设sin 2sin ，则tan 2的值是 sin 2sin ，2sin cos sin .由知sin 0，cos ，tan 2tantan.4已知，cos .(1)求tan 的值；(2)求sin 2cos 2的值解(1)因为cos ，所以sin ，所以tan .(2)因为sin 22sin cos ，cos 22cos21，所以sin 2cos 2.