1、空间向量基本定理【学习目标】课程标准学科素养1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）1、数学运算2、数学抽象【自主学习】1. 空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量2.单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k，a可以分解成三个向量，axiyjzk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。【小试牛刀】1.判断正错(1)空间的任何一个向量都可用三
2、个给定向量表示()(2)若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量()(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线()(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底()2在下列两个命题中，真命题是()若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若a，b是两个不共线向量,而cab(，R且0)，则a,b,c构成空间的一个基底A仅 B仅 C D都不是【经典例题】题型一基底的判断判断标准：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线
3、性表示，则不能构成基底假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底例1设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量：a，b，x；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的有()A1个 B2个 C3个 D0个跟踪训练 1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底题型二用基底表示向量注意：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，
4、要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求例2 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值跟踪训练2如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，D为BC的中点试用向量a，b，c表示向量和.【当堂达标】1. 以下四个命题中正确的是()A基底a，b，c中可以有零向量B空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底CABC为直角三角形的充要条件是0D空间向量的基底只能有一组2. 已知点O，A，B，C为空间不共
5、面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.B.C.D.或3. 下列能使向量，成为空间的一个基底的关系式是()A.B.C.D.2MC4已知ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，若dabc，则，的值分别为_5.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间任一点，设a，b，c，则向量用a，b，c表示为_6如图，已知PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为PDC的重心，i，j，k，试用基底i，j，k表示向量，.【参考答案】【小试牛刀】1.2.A解析为真命题；中，由题意得a，b，c共面，故为假命题，故选A.【经典例题】例1 B均
6、可以作为空间的基底，故选B.跟踪训练 1 解假设，共面则存在实，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，不共面，可以作为空间的一个基底例2 解(1)如图，连接AC，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.跟踪训练 2解因为，而，又D为BC的中点，所以()，所以()()()(abc)又因为，()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.【当堂达标】1. B解析使用排除法因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确2.C解析ab且a，b不共线，a，b，共面，与a，b不能构成一组空间基底3. C解析对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于选项B，D，可知，共面，故选C.4. 5.，1，解析d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，5.abc解析2，2()，ba2(c)，abc.6.解延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，()ijk.ijk.
