1、2020-2021学年高二理数学下学期期末复习自测（选修2-2）（时间120分钟，满分150分）一 选择题（每小题5分，共计60分）1复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）ABCD3分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：，依此类推得：，则（ ）A228B240C260D2734由安梦怡是高二（1）班的学生，安梦怡是独生子女，高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）ABCD5给出下面三个类比结论：向量，
2、有类比有复数，有；实数有；类比有向量，有；实数有，则；类比复数，有，则.其中正确的命题有（ ）个.A0B1C2D36用反证法证明命题“若，则”时，下列假设的结论正确的是（ ）ABCD7设函数在上可导，则等于（ ）ABCD以上都不对8函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）ABCD9下列求导运算中错误的是（ ）ABCD10已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（ ）ABCD11用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是（ ）ABCD12已知，那么的值为（ ）A45B55C66D77二、填空题（每小题5分，共计20分）13复数满足，则复数的共轭复
3、数_14用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有_项（填多少项即可）15若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是_ .16若点在曲线上，且，则曲线在点处的切线方程是_三、解答题（共计70分）17（10分）计算下列定积分:(1) ；(2) .18（10分）（1）若复数是实数（其中是虚数单位）,则求的值.（2）求曲线，直线及y轴所围成的封闭图形的面积.19（10分）证明：不是有理数.20（10分）用综合法证明：如果，则.21（15分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围22（15分）已知，设函数（）若在上无极值点，求m的值；（）若存在，使
4、得是在上的最值，求m的取值范围 参考答案1【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出的值，根据复数的几何意义可得结果【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2【答案】B【分析】根据复数的四则运算，以及共轭复数和复数模的理解，可得结果.【详解】，由，所以则，即，所以，所以故选：B【点睛】本题考查的是复数的运算，属基础题.3【答案】C【分析】使用裂项法及，的范围求出，的值，从而求出答案【详解】，所以mn=260.故选C【点睛】本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知
5、识的理解掌握水平，属于基础题.4【答案】D【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：安梦怡是高二（1）班的学生；结论：安梦怡是独生子女，故选D.【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5【答案】B【解析】分析：对3个命题，通过反例判断命题的真假，利用多项式的运算法则判断真假即可详解：逐一考查的说法：对于时，不成立；对于向量的运算满足完全平方公式，故对
6、；对于,例如=i，z2=1满足，但，故错.故选B.【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误6【答案】A【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立根据要证命题的否定，从而得出结论【详解】用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立而要证命题的否定为，故选A【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题7【答案】C【分析】根据导数的定义，直接得出结果.【详解】根据导数的定义， .所以故选：C.8【答案】A【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小
7、于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【详解】由题意可知，求函数的单调减区间，根据图象，解集为，故选：A9【答案】C【分析】依据求导公式及法则一一判断即可.【详解】A选项：，A正确；B选项：，B正确；C选项：，C错误；D选项：，D正确故选：C10【答案】B【分析】根据极值与导数的关系判断【详解】由知，时，时，时，是极值点虽然有，但在7的两侧，7不是极值点故选：B11【答案】C【分析】首先分析题目在验证是否成立时，把代入左边，即可得出结果.【详解】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于基础题.12【答案】A【详解】，可得，两式相加可得：.=4
8、5.故选A.13【答案】【分析】对已知条件进行化简运算，得到，然后根据共轭复数的概念，得到【详解】，共轭复数故答案为【点睛】本题考查复数的基本运算，共轭复数概念，属于简单题.14【答案】5【分析】分别写出和时的对应的结果，再比较差异，得到答案.【详解】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.故答案为：515【答案】【分析】求出导函数 ，只需在区间上有解即可.【详解】，则，函数在区间（-1，1）上存在减区间，只需在区间上有解，记，对称轴，开口向下，只需，所以，解得， 故答案为：16.【答案】【分析】利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】由题意知，切线的斜率所以，曲线在点处的切线方
9、程为，即故答案为：17【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：(1)分两种情况讨论，去掉绝对值符号，分两段分别求定积分，然后求和即可得结果；(2)分别对与求定积分，然后求和即可的结果.【详解】 (1)|x+2|dx=-(x+2)dx+(x+2)dx=-+=.(2)根据定积分的基本原理可得(x2+sinx)dx=.18【答案】（1） ；（2） .【分析】（1）先化简复数再令虚部为0，求解即可（2）利用微积分基本定理即可求出【详解】（1）因为是实数,所以，所以.(2)由解得，故面积为.【点睛】（1）本题考查复数的运算和基本概念，考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解区域面积，均属于基础题19
10、证明见解析；【解析】试题分析：利用反证法假设是有理数,进而利用有理数的性质分析得出矛盾,进而得出答案.试题解析：假设为有理数那么存在两个互质的正整数，使得：，于是，两边平方得由是偶数，可得是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数.因此可设，是正整数，代入上式，得：，即.所以也是偶数，这样都是偶数，不互质，这与假设互质矛盾.因此不是有理数.20见证明【分析】由基本不等式，可得，再根据对数函数的单调性得，利用对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，当时，有，根据对数函数的单调性，可得，.【点睛】本题主要考查了综合法的证明，其中解答中熟练应用基本不等式和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了
11、推理与运算能力，属于基础题.21（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求得函数的导数，分类，和，三种情况讨论，即可求解.（2）当时，不妨设，由（1）得到，把不等式，转化为对任意的成立，进而转化为对恒成立，构造函数，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，当时，在上单调递减；当时，所以在上单调递减；当时，令，即，解得或；令，即，解得，所以在单调递增，在单调递减（2）当时，函数，由（1）可知在单调递减，不妨设，则，所以，即，即对任意的成立，所以在单调递减，则，即对恒成立，令，可得，令，即，解得，令，即，解得或，所以在单调递增，在单调递减，当时，函数取得最大值，
12、最大值为，所以，即实数的取值范围.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.22【答案】（）；（）或【分析】（）求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求出m的值.（）求函数的导数，根据在上的最值，建立条件关系即可求m的取值范围【详解】（）由题意可知，由于在上无极值点，故，解得.（）由于，故（i）当或，即或时，取即满足题意，此时或，（ii）当，即时，列表如下： 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 故或，即或，从而或，所以或或，此时.（iii）当，即时，列表如下： 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 故或，即或，从而或，所以或或，此时，综上所述，m的取值范围为或.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题的关键是判断出函数的单调性，确定函数的最值，同时考查推理论证能力以及分类讨论的思想，考查了综合解题能力.
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