1、1.4 充分条件与必要条件 目标导航1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题4.理解充要条件的意义.5.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明 知识解读知识点一充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p qp q条件关系p是q的 条件q是p的 条件p不是q的 条件q不是p的 条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件知识点二充要条件1如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作
2、，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件2如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为 条件跟踪训练一、单选题1“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2“”的一个充分条件是（）ABCD3已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）ABCD5“”是关于的不等式的解集为R的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件6已知，则“使得”是“”的（）A充分不必要条件B必要不
3、充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件7已知，均为不为零的常数，命题甲：不等式，的解集相同，命题乙：，则甲是乙的（）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出四个结论：；“整数与属于同一“类”的充要条件是“”.其中正确结论的个数是()A1个B2个C3个D4个二、多选题9下列选项中p是q的必要不充分条件的有（）Ap：a1，q：a1Bp：ABA，q：ABBCp：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等Dp：x2+y21，q：x1，y010下列命题正确的是（）A”是“”的充分不必要条件B若方程的两根都
4、是负数，则C设x，则“且”是“”的必要而不充分条件D设a，则“”是“”的必要而不充分条件11下列说法正确的是（）A“”是“”的必要不充分条件B“且”是“”的充分不必要条件C当时，“”是“方程有解”的充要条件D若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件12下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（）Ap：中，q：中，；Bp：， q：；Cp：，q：；Dp：，q：关于x的方程有两个实数解三、填空题13写出的一个必要不充分条件_14给出下列命题：已知集合，且，则集合的真子集个数是4；“”是“”的必要不充分条件；“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件设，则“”是“”的必要不充分条件
5、其中所有正确命题的序号是_15已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是_16在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：；“整数，属于同一类”的充要条件是“”.其中正确的结论是_.四、解答题17设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围18已知集合，或(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围19设全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.20已知集合P=x|a+1x2a+1，Q=x|-2x5.(1)若a=3，求；(2)若“xP”是“x
6、Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围1.4 充分条件与必要条件 目标导航1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题4.理解充要条件的意义.5.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明 知识解读知识点一充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p qp q条件关系p是q的 条件q是p的 条件p不是q的 条件q不是p的 条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【答案】 充分 必要 充分 必要知识点二充要条件1如果“若p，
7、则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件2如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为 条件【答案】pq qp pq 充要 充要跟踪训练一、单选题1“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，利用充分条件与必要条件的概念即可求得结果.【详解】由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件故选：A.2“”的一个充分条
8、件是（）ABCD【答案】C【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立.【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误；对于B，当时，或，充分性不成立，B错误；对于C，当时，可得到，C正确；对于D，当时，或，充分性不成立，D错误.故选：C.3已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由，显然由推不出，比如推不出，又推不出，比如推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D4命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】D【分析】根据
9、全称命题的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可.【详解】，因为命题“，”为真命题，所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出，由不一定能推出，由一定能推出，故选：D5“”是关于的不等式的解集为R的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【答案】B【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，讨论可判断必要性.【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当，且时，不等式，所以，若关于的不等式的解集为R，则.综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.故选：B6已知，则“使得”是“”的（）A充分不必要
10、条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】C【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.【详解】若使得，则有成立；若，则有使得成立.则“使得”是“”的充要条件故选：C7已知，均为不为零的常数，命题甲：不等式，的解集相同，命题乙：，则甲是乙的（）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】可通过求解命题甲，得到，之间的关系，并于命题乙对比即可判断.【详解】已知，均为不为零的常数，由不等式，的解集相同，不一定能够推导出各项系数对应成比例，例如两个不等式的解集都为空集，故解集相同跟对应项系数没有直接的关系，而命题乙为：，由此可知
11、，命题甲不一定能推出命题乙，而命题乙在与不同号时，无法推出命题甲，因此甲是乙的既不充分也不必要条件.故选：D.8在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出四个结论：；“整数与属于同一“类”的充要条件是“”.其中正确结论的个数是()A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】对于：利用“类”的概念即可求解；对于：结合“类”的概念，利用充分性和必要性的定义即可判断.【详解】对于：因为，从而，故正确；对于：不妨令，则，即，故错误；对于：因为任何整数被5整除，余数，所以，故正确；对于：(i)若整数与属于同一“类”，则一定存在，使得，故，即；(ii)若，则一定存在整数，使得，
12、若整数与不属于同一“类”，则必存在整数，和，且，使得，此时，因为，从而与矛盾，故整数与属于同一“类”，从而“整数与属于同一“类”的充要条件是“”，故正确.故选:C.二、多选题9下列选项中p是q的必要不充分条件的有（）Ap：a1，q：a1Bp：ABA，q：ABBCp：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等Dp：x2+y21，q：x1，y0【答案】AD【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可【详解】解：A：a1a1，而当a1时，不一定有a1，p是q的必要不充分条件，A正确，B：p：ABA，AB，q：ABB，AB，p是q的充要条件，B错误，C：两个三角形全等两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等
13、不一定推出两个三角形全等，p是q的充分不必要条件，C错误，D：当x1，y0时，则x2+y21，反之，当x2+y21时，x1，y0不一定成立，p是q的必要不充分条件，D正确，故选：AD10下列命题正确的是（）A”是“”的充分不必要条件B若方程的两根都是负数，则C设x，则“且”是“”的必要而不充分条件D设a，则“”是“”的必要而不充分条件【答案】AD【分析】根据充分性、必要性的定义进行逐一判断即可.【详解】A正确“”可推出“”，但是当“”时，a有可能是负数，所以“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件：B错误；C错误当时，但是“且”不成立，所以“”推不出“且”，所以“”不是“”的必要条件D正
14、确”推不出但“”可推出”，所以”是的必要而不充分条件，故选：AD11下列说法正确的是（）A“”是“”的必要不充分条件B“且”是“”的充分不必要条件C当时，“”是“方程有解”的充要条件D若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【答案】ABD【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确； 对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p
15、的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.12下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（）Ap：中，q：中，；Bp：， q：；Cp：，q：；Dp：，q：关于x的方程有两个实数解【答案】AD【分析】利用充分条件和必要条件的定义依次判断各个选项.【详解】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件；对于B，由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的充分不必要条件；对于C，由可知，当时，；当时，；而当时，若，则，若，则，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个实数解时，则，得
16、且，所以p是q的必要不充分条件；故选：AD三、填空题13写出的一个必要不充分条件_【答案】（答案不唯一）【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.【详解】，所以“”是不等式“”成立的一个必要不充分条件.故答案为：.14给出下列命题：已知集合，且，则集合的真子集个数是4；“”是“”的必要不充分条件；“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件设，则“”是“”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是_【答案】【分析】根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误.【详解】，故真子集个数为个，错误；由，可得或，故“”是“”的充分不必要条
17、件，错误；由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.故答案为：15已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是_【答案】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围【详解】“”是”的必要条件，当时，则；当时，根据题意作出如图所示的数轴， 由图可知或，解得或，综上可得，实数a的取值范围为16在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：；“整数，属于
18、同一类”的充要条件是“”.其中正确的结论是_.【答案】【分析】根据题中给定的定义，理解“类”的含义，对结论逐一分析即可判断；对结论从正反两个方面分析推理判断作答.【详解】对于，因，则，正确；对于，因，则，不正确；对于，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，正确；对于，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有，若，不妨令，则，显然，于是得，即有整数，属于同一“类”，所以“整数，属于同一类”的充要条件是“”，正确，所以正确的结论是.故答案为：四、解答题17设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围【答案】【分析】由是的充分条件，可得出A
19、B，即可求出的取值范围.【详解】因为是的充分条件，所以AB，又，所以故的取值范围为：.18已知集合，或(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；【详解】(1)解：当时，或，(2)解：或，“”是“”的充分不必要条件，是的真子集，故实数的取值范围为19设全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）将充分条件转化为
20、子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.【详解】(1)是的充分条件， ，又，实数的取值范围为.(2)命题“，则”是真命题，当时，；当时，且是的子集.，;综上所述：实数的取值范围.20已知集合P=x|a+1x2a+1，Q=x|-2x5.(1)若a=3，求；(2)若“xP”是“xQ”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.（2）由给定条件可得，再根据集合包含关系列式计算作答.【详解】(1)因a=3，则P=x|4x7，则有或，又Q=x|-2x5，所以.(2)“xP”是“xQ”充分不必要条件，于是得，当a+12a+1，即a0时，又，即，满足，则a0，当时，则有或，解得或，即，综上得：，所以实数a的取值范围是
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