1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点)3.向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系(易混点)1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升学生的数学建模和数学抽象素养.2.通过向量坐标运算，培养学生的数学运算素养.1平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的
2、两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐
3、标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)思考：向量是可以平行移动的，那么它的坐标与位置有关吗？提示向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系1已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是()A(2，1)B(1,2)C(2,1) D(1，2)B(2,3)(3,1)(23,31)(1,2)2已知向量a(1,2)，b(1,0)，那么向量3ba的坐标是()A(4,2) B(4，2)C(4,2) D(4，2)D3ba3(1,0)(1,2)(4，2
4、)3如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45，则向量a的坐标为_(，)由题意知a(2cos 45i,2sin 45j)(i，j)(，)4已知A(3，5)，B(1,3)，点C在线段AB上，且3，则点C的坐标是_(0,1)由3得33，43，即，C的坐标为(3，5)(1,3)(0,1)平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标解(1)作AMx轴于点M，则OMOAco
5、s 4542，AMOAsin 4542，A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).点B的坐标为.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标1如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标解由图形可知，6i2j，2i4j，4i2j，它们的坐标表示为(6,2)，(2,4)，(4,2).平面
6、向量的坐标运算【例2】(1)已知a(1,2)，b(2,1)，求：2a3b；a3b；ab.(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标思路点拨：(1)运用向量坐标运算的公式进行求解(2)法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值法二：用向量线性运算的几何意义直接计算，的坐标解(1)a(1,2)，b(2,1)，2a3b2(1,2)3(2,1)(26,43)(4,7)a3b(1,2)3(2,1)(16,23)(7，1)ab(1,2)(2,1)(2)法一：(待定系数法)由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1
7、)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，所以x10，y120；(x23，y24)(12,6)，所以x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，(9,2)(0,20)(9，18)法二：(几何意义法)设点O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，从而32，2，所以3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)，即点M(0,20)，N(9,2)，故(9,2)(0,20)(9，18)平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和
8、、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标解(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3).向量坐标运算的综合应用探究问题1已知A，B点坐标，O为坐标原点，若t，如何求点P在坐标轴上，在某象限内时的t值或范围提示：tt()(1t)t，把A，B点坐标代入上式，从而求出P点坐标(x，y)若
9、P在x轴上，则y0，若P在y轴上，则x0，若P在第一、三象限角平分线内，则xy，若P在第一象限，则x0且y0，求其他范围时，只要x，y满足关系式或不等式即可2对于探究1条件不变，O，A，B，P能否为四边形？请说明理由提示：由条件可知，(1t)t，而(1t)t1，所以点P，A，B三点共线，故O，A，B，P不能构成四边形【例3】(1)已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.(2)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若AAA(R)，试求为何值时，点P在一、三象限角平分线上；点P在第三象限内思路点拨：(1) (1)7由已知得manbm(2，3)n(1,2)
10、(2mn，3m2n)又p(9,4)且pmanb，所以解得所以mn7.(2)解设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)AAA，则若点P在一、三象限角平分线上，则5547，当时，点P在一、三象限角平分线上若点P在第三象限内，则1，当1时，点P在第三象限内1若本例(2)条件不变，试求为何值时，点P在第四象限解若P在第四象限，由本例(2)的解析得解得1.2若本例(2)条件“”改为“”，其他条件不变，应如何解答？解设点P的坐标为(x，y)，则(x5，y4)，(3，1)(2,6)(32，16)因为，所
11、以则若点P在一、三象限角平分线上，则2236，解得.若点P在第三象限内，则解得1.1解答本题可用待定系数法此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值1向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点
12、的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(xBxA，yByA)3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积1给出下面几种说法：相等向量的坐标相同； 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1B2C3D4C由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误2已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2) B(1,2)C(5,6) D(2,0)A令b(x，y)，则2x3且4y2，解得x1，y2，故选A.3已知A(2，3)，(3，2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为()AB(5，5)，M(0,0)BB(5，5)，MCB(1,1)，M(0,0)DB(1,1)，MB(2，3)(3，2)(5，5)，(2，3)(3，2).4已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_(3，4)，则与同方向的单位向量为(3，4).5在平行四边形ABCD中，若(2,4)，(1,3)，则用坐标表示_(1，1)根据平行四边形法则，(1,3)(2,4)(1，1)