1、利用基本不等式求最值及解决简单的实际问题考点一利用基本不等式求最值示范1 已知函数 yloga(x3)1(a0 且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 mn0，则1m2n的最小值为_解析 yloga(x3)1 恒过点(2，1)，A(2，1)，又A 在直线上，2mn10.即 2mn1.又 mn0，m0，n0.而1m2n2mnm4m2nn2nm24mn 42 48.当 n12，m14时取“”，1m2n的最小值为 8.答案 8展示1 已知 x0，y0 且 x2y1，求1x1y的最小值【解析】x2y1，1x1yx2yxx2yy32yx xy32 2，当且仅当2yx xy
2、，即 x22y2，即 x 2y 且 x2y1，即 x22 2121，y12 2时，取等号1x1y的最小值为 32 2.注意：本题若用 1x2y2 2xy，得 xy18，即 1xy8，1x1y21xy2 84 2将出错，因取等号的条件x2y，1x1y不成立方法点拨：解决此类问题的方法一般是利用已知条件等式，代入待求式子，转化到可以满足“正、定、等”条件，再利用基本不等式得到解决.考点二基本不等式的实际运用示范2 如下图所示，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上下边缘分别在学生的水平视线上方 a 米和 b 米，学生距离墙壁多远时，看黑板的视角最大？分析 本题是列出函数关系，再运用不等式求解，求最值解析
3、 设学生 P 距黑板 x 米，黑板上下边缘与学生的水平视线 PH 的夹角分别为APH，BPH.其中，则学生看黑板的视角为，由 tanax，tanbx，由此可得：tan()tantan1tantanaxbx1abx2 abxabx.因为 xabx 2xabx 2 ab，当且仅当 x ab时，tan()最大，由于 为锐角，此时 最大，即学生距离墙壁 ab时看黑板的视角最大【点评】求角的问题，联系起三角知识，求解三角形，出现形式考虑用均值不等式.解题中通过恒等变换转化成可用均值不等式的形式也是一种重要能力.展示2 设矩形 ABCD(ABAD)的周长是 24，把它关于 AC折起来，AB 折过去后交 C
4、D 于点 P，如图所示，设 ABx，求ADP 的最大面积及相应的 x 值【解析】ABx，AD12x.又 DPPB，APABPBABDPxDP，由勾股定理，得(12x)2DP2(xDP)2，即 DP1272x.ABAD，6x12.因此ADP 的面积S12ADDP12(12x)1272x 1086x72x.x0，x72x 2x72x 12 2.S10872 2，当且仅当 x72x，即 x6 2 时，S 有最大值 10872 2.点评 折叠问题要注意折叠前后位置与量的分析，哪些量不变，哪些量改变了，挖掘几何关系，需要把三角形的另一边也用 x 表示，把 DP 用 x 表示是解题的关键方法点拨：函数不等
5、式应用问题经常综合在一起，出现不等字眼是不等式应用问题发现的关键，如大于、不小于、超过等注意列出不等关系后，应用基本不等式时的前提条件1使用基本不等式求最值时，注意三个必要条件，即“一正、二定、三相等”2应用基本不等式要注意不等式两边的形式变化的启发以及不等号方向、放缩的选择，选用恰当的不等变化3寻求定值与求范围要注意适当变形利用两个正数的不等关系求最值、求范围问题是考查的重点1(2011 浙江)若实数 x，y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值是_【答案】2 33【解析】由条件，得(xy)2xy1，即(xy)21xyxy22.(xy)243，即2 33 xy2 33.当且仅当 xy 3
6、3 时，取等号2(2011 北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件B80 件C100 件D120 件【答案】B【解析】设每件产品的平均费用为 y 元，则 y800 x x82800 x x820，当且仅当800 x x8，即 x80 时，取等号3(2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度
7、达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/时，研究表明：当20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的解析式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/时)【解析】(1)由题意，得当 0 x20 时，v(x)60；当20 x200 时，设 v(x)axb.由已知，得200ab0，20ab60a13，b2003.故函数 v(x)的解析式为v(x)60，0
8、x20，13200 x，20 x200.(2)依题意并由(1)，可得f(x)60 x，0 x20，13x200 x，20 x200.当 0 x20 时，函数 f(x)为增函数，当 x20 时，其最大值为 60201 200；当 20 x200 时，f(x)13x(200 x)13 x200 x2210 0003，当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立所以当 x100 时，函数 f(x)在区间20,200上取得最大值10 0003.综上，当 x100 时，函数 f(x)在区间0,200上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆/时【点评】本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力