1、第三章 直线与方程31 直线的倾斜角与斜率311 倾斜角与斜率第三章 直线与方程 1理解直线的倾斜角和斜率的概念 2掌握求直线斜率的方法3了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_(2)倾斜角的范围直线的倾斜角 的取值范围为_正向001802直线的斜率定义倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角 的_叫做这条直线的斜率，记为 k，即 k_取值范围当 0时，k0；当 00；当 90180时，k0；当 9
2、0时，斜率不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，其斜率 k_正切值tan y2y1x2x11运用两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题(1)斜率公式与 P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即 x2x1，y2y1 中 x2 与 y2 对应，x1 与 y1对应)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为 90，斜率不存在2由坐标求直线斜率的策略对于用坐标表示的斜率，其大小与两点的先后顺序无关，当x1x2，y1y2 时，直线的
3、倾斜角 90，没有斜率，这常常是分类讨论的依据，斜率公式是“数”与“形”结合的纽带判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意一条直线都有倾斜角()(2)任意一条直线都有斜率()(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线()下图中，所标直线的倾斜角正确的是()答案：C已知直线 l 的倾斜角 30，则其斜率 k 的值为()A0 B 33 C1 D 3答案：B已知 P1(3，5)，P2(1，3)，则直线 P1P2的斜率 k 等于()A2 B1 C12D不存在答案：A经过两点 A(1，3)，B(2，4 3)的直线的倾斜角为_解析：设此直线的倾斜角为，则 tan k4 3 32(1)3因为 01
4、80，所以 60答案：60探究点 1 直线的倾斜角(1)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将 l绕坐标原点按逆时针方向旋转 45，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为()A45B135C135D当 0135时，倾斜角为 45；当 135180时，倾斜角为 135(2)已知直线 l1的倾斜角 115，直线 l1与 l2的交点为 A，直线 l1和 l2向上的方向所成的角为 120，如图，则直线 l2的倾斜角为_【解析】(1)根据题意，画出图形，如图所示：因为 0180，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意，通过画图(如图所示)可知：当 0135时，l1的倾斜角为 45；当 1
5、35180时，l1 的倾斜角为 45180135故选 D(2)设直线 l2的倾斜角为 2，由 l1和 l2向上的方向所成的角为120，所以BAC120，所以 21201135【答案】(1)D(2)135分类讨论思想求直线的倾斜角(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论(2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论 1一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()A B180C180 或 90D90 或 90解析：选 D如图，当 l 向上方向的部分在 y 轴左
6、侧时，倾斜角为 90；当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时，倾斜角为 90故选 D探究点 2 直线的斜率 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(2，3)，D(2，1)；(3)P(3，1)，Q(3，10)【解】(1)存在，直线 AB 的斜率 kAB53421，即 tan 1，又 0180，所以倾斜角 45(2)存在直线 CD 的斜率 kCD 132(2)1，即 tan 1，又 0180，所以倾斜角 135(3)不存在因为 xPxQ3，所以直线 PQ 的斜率不存在，倾斜角 90应用斜率公式求斜率应注意的问题(1)运用公
7、式的前提条件是“x1x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点 P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2，y1与 y2可以同时交换位置 2(1)已知过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为 135，则 y_；(2)过点 P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_解析：(1)直线 AB 的斜率 ktan 1351，又 k3y24，由3y24 1，得 y5(2)由斜率公式 k4mm21，得 m1答案：(1)5(2)1探究点 3 斜率的应用(1)如果 A2m，52，B(4，1)，C(4，m)三点在同一
8、条直线上，试确定常数 m 的值(2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线 l 的斜率和倾斜角的范围【解】(1)由于 A，B，C 三点所在直线不可能垂直于 x 轴，因此可设直线 AB，BC 的斜率分别为 kAB，kBC由斜率公式，得 kAB5212m474m8，kBC1m44 m18因为点 A，B，C 在同一条直线上，所以 kABkBC所以74m8m18，即 m23m120，解得 m13 572，m23 572所以 m 的值是3 572或3 572(2)如图所示因为 kAP10211，kBP 3001 3，所以 k(，31，)，所以 451
9、20将本例(2)中的 B(0，3)，改为 B(2，3)，如何求解？解：如图所示：kPA10211，kPB 3021 3所以 k1，3，4560(1)三点共线问题用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于 x 轴当任意两点的连线垂直于 x 轴，且过同一点时，三点共线否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可(2)利用数形结合求倾斜角或斜率求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以，更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响 3(1)已知点 A(2，3)，B(3，2)，直线l 过点 P(1，1)，且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的
10、取值范围是()Ak34或 k4 Bk34或 k14C4k34D34k4(2)经过两点 A(m，2)，B(m，2m1)的直线的倾斜角为45若点 C(m1，n)在直线 AB 上，求 m、n 的值解：(1)选 A如图所示，过 P 作直线 PCx 轴交线段 AB 于点 C作出直线 PA，PB直线 l 与线段 AB 的交点在线段 AC(除去点 C)上时，直线 l的倾斜角为钝角，斜率的范围是 kkPA直线 l 与线段 AB 的交点在线段 BC(除去点 C)上时，直线 l的倾斜角为锐角，斜率的范围是 kkPB因为 kPA3121 4，kPB213134，所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k34或 k4
11、(2)ktan 452m12mm，解得 m34所以 A34，2，C74，n 又 A、B、C 三点共线，所以 kACtan 45n27434n21所以 n3即 m 与 n 的值分别为34和 31直线 x1 的倾斜角为()A0 B45C90 D180答案：C2过点(3，0)和点(4，3)的直线的倾斜角是()A30 B150C60 D120解析：选 D直线的斜率 ktan 304(3)3所以直线的倾斜角 1203直线 l 经过原点 O 和点 P(1，1)，则该直线的斜率是_答案：14已知 A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率 k 及 a，b 的值解：由题意可知 kAB51312，kAC71a1 6a1，kAD b111b12 因为 A、B、C、D 四点在同一条直线上，所以 k2 6a1b12，解得 a4，b3，所以直线的斜率 k2，a4，b3本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放