1、1不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域、值域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系2能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质、方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学问题具体题型如下：(1)利用基本不等式求最值、确定范围；(2)运用不等式知识研究函数问题，研究方程解的问题；(3)利用不等式解决一类实际应用问题；(4)探索最值问题，设计可行方案考点一抽象不等关系形成不等式示范1 甲、乙两人沿着同一条路同时从 A 地出发走向 B 地，甲用速度 v1
2、 与 v2(v1v2)各走全程的一半，乙用速度 v1 与 v2 各走全程所需时间的一半，试判断甲、乙两人谁先到达 B 地，并证明你的结论分析 利用路程速度与时间关系，写出要比较的目标：两个人所用时间解析 乙先到达 B 地设路程长为 2，乙所用时间是 2t.依题意甲用时间：1v11v2.由乙的要求：v1tv2t2，t2v1v2，2t4v1v2，比较1v11v2与4v1v2，v1v2，v10，v20，v1v2v1v1v2v22v2v1v1v222v2v1v1v24，1v11v24v1v2，甲用时间较长，乙先到达 B 地【点评】要把具体问题抽象成数学问题，恰当设置辅助量是解题的关键.展示1 用锤子以
3、均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k，已知一个铁钉，要求在受击 3 次后才全部进入木板且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47.若 k3，能否满足要求？【解析】依题意，得47 47k1，47 47k 47k21.解得43k2.k3时，不满足要求方法点拨：对不等关系的量，选择恰当的量设元，转化成不等式问题.注意隐含的条件.考点二综合利用不等式求最值，确定范围示范2 已知函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，则有 f(x)f(2ax)2b 对任意定义域内的 x 均成立(1)若函数 f(x)x2mxmx的图象关于
4、点(0,1)对称，求实数m 的值；(2)已知函数 g(x)x2nx1(x0)，在(1)的条件下，若对实数 x0，恒有不等式 g(x)f(t)成立，求实数 n 的取值范围解析(1)由 f(x)f(x)2 得 m1.(2)由条件有x2nx10，t1t13(仅当 t1 时取“”)，x2nx13，(x0)，nxx22xx2x.x0，x 2x2 2，x2x2 2，n2 2为所求【点评】本题中涉及参数 t 和参数 n，由于 t 有范围，故采用分离参数法，先化掉 t 使得问题变成只有一个参数，成为常规的恒成立问题，求参数取值范围问题，由于 x0)且方程 f(x)9x0 的两根分别为 1 和 4，(1)当 a
5、3 且曲线 yf(x)过原点时，求函数 f(x)的解析式；(2)若函数 f(x)在区间(，)上无极值点，求实数 a 的取值范围【解析】(1)f(x)ax22bxc，f(x)9xax2(2b9)xc，由条件，得a2bc90，16a8bc360，a3，即a3，b3，c12.又 f(0)0，则 d0.f(x)x33x212x.(2)由于 a0，故原命题等价于关于 x 的不等式 f(x)0 在区间(，)上恒成立4b24ac0.由，得 2b95a，c4a.a0，9a1a90.解得 1a9.实数 a 的取值范围是1,9方法点拨：由于函数 fx是一个二次函数，联想二次函数的图象，由于条件有 a0，故其图象是
6、一开口向上的抛物线，问题即时可转化为抛物线与 x 轴没有交点或恰有一个交点，问题马上得到解决.)考 点 三运 用 不 等 式 知 识 研 究 函 数 问 题，方 程 解 的 问题示范3 已知函数 f(x)2x12x2，g(x)logax(a0 且 a1)，函数 h(x)f(x)g(x)在其定义域上为减函数且其导函数 h(x)存在零点，(1)求实数 a 的值；(2)若函数 p(x)与 g(x)图象关于直线 yx 对称且 p(x)为函数 p(x)的导函数，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，由条件 h(x)0 恒成立，即可得 1ln ax22x(x1)21 1ln a1，h(x)0有解法
7、一 即 1ln ax22x(x1)211 1ln a1，从而 1ln a1ae.法二 即 x22x 1ln a0 有正解，令 m(x)x22x 1ln a，其图象为开口向上抛物线，对称轴为 x1，只要 4 4ln a0 1ln a1 即可，从而 1ln a1ae.(2)由(1)g(x)ln x，故 p(x)ex，p(x)ex，p(x0)y1y2x1x2ex0ex1ex2x1x2，故只要比较 ex0，ex1，ex2 的大小即可，又 x1x2，ex1ex2，令(x)(xx2)exexex2，则(x)ex(xx2)，当 xx2时，(x)(x2)0，(x1)(x2)0.(x1x2)ex1ex1ex20
8、ex0ex1，x0 x1，x0 x10 成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)当 m0 时，f(x)12x9，由 f(x)0，得 x34.当 m0 时，9(m4)236m9(m24m16)9(m2)2120，当 m0 时，函数 f(x)有两个零点综上，当 m0 时，函数 f(x)有 1 个零点；当 m0 时，函数 f(x)有 2 个零点(2)原命题即关于 x 的不等式 f(x)a 在 x0,2上有解，只需 a 小于函数 f(x)的最大值函数 f(x)x29x9x9229814 在区间0,2上递减，最大值为 f(0)9.a0，b0.故 a，b 中必有 1 个大于 1,1 个小于 1.不妨设
9、0a1b，aba1a.令 g(a)a1a，有 g(a)1 1a2a21a2 g(1)2.2(2011 四川文)已知函数 f(x)23x12，h(x)x，(1)设函数 F(x)18f(x)x2h(x)2，求函数 F(x)的单调区间与极值；(2)设 aR，解关于 x 的方程 lg32fx134 2lg h(ax)2lg h(4x)；(3)设 nN*，求证：f(n)h(n)h(1)h(2)h(n)16.【解析】(1)F(x)18f(x)x2h(x)2x312x9(x0)，F(x)3x212.令 F(x)0，得 x2(x2 舍去)当 x(0,2)时，F(x)0；x(2，)时，F(x)0，4x0，ax0
10、，x14xax1x4xa，ax325.如下图所示，当 1a4 时，原方程有一解 x3 5a；当 4a5 时，原方程无解(3)由已知，得 h(1)h(2)h(n)1 2 n，f(n)h(n)164n36n16.设数列an的前 n 项和为 Sn且 Snf(n)h(n)16(nN*)，从而有 a1S11.当 k2 时，akSkSk14k36k4k16k1.又 ak k16(4k3)k(4k1)k116 4k32k4k12k14k3 k4k1 k11614k3 k4k1 k10，即对任意 k2 时，有 ak k.又 a11 1，所以 a1a2an 1 2 n.则 Snh(1)h(2)h(n)故原不等式成立【点评】本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力