1、1平均变化率设函数 yf(x)，那么式子fx2fx1x2x1称为函数 f(x)从 x1 到 x2的平均变化率，简记为fx.2导数的概念一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limx0fx0 xfx0 xlimx0fx，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数记作f(x0)或 即f(x0)limx0fx0 xfx0 x.当xx0变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)limx0fxxfxx.3导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是曲线 yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为_yy0f(x0)(xx0)4导数计算
2、公式及求导法则(请学生自主学习)写出下列函数导数或运算法则(1)f(x)C(C 为常数)；答：_；(2)f(x)xn(nQ);答：_；(3)f(x)sin x;答：_；(4)f(x)cos x;答：_；(5)f(x)ax;答：_；f(x)0f(x)nxn1 f(x)cos xf(x)sin xf(x)axln a(6)f(x)ex;答：_；(7)f(x)logax;答：_；(8)f(x)ln x;答：_；f(x)exf(x)1xln af(x)1x(9)yf(x)g(x);答：_；(10)yf(x)g(x);答：_；(11)yfxgxgx0；答：_.yf(x)g(x)yf(x)g(x)f(x)
3、g(x)yfxgxfxgxgx2考点一导数的计算示范1 利用函数导数的定义求 f(x)x2的导数分析 利用定义求导数，要根据 解析【点评】展示1 用导数的定义求函数 f(x)1x的导数【解析】yxfxxfxx1xx1xxxxxxxxx1x2xx，ylimx0yxlimx0 1x2xx 1x2.示范2 求下列函数的导数：(1)f(x)x33x23x8；(2)f(x)ln xx；(3)f(x)ex(x22x)分析 利用求导法则即可解析(1)f(x)3x26x3.(2)f(x)1xxln xx21ln xx2.(3)f(x)ex(x22x)ex(2x2)ex(x24x2)【点评】求函数的导数可以利用
4、导数公式和运算法则展示2 求下列函数的导数：(1)f(x)ex(x2axa1)；(2)f(x)ln xx12x.【解析】(1)f(x)ex(x2axa1)ex(2xa)exx2(a2)x2a1(2)f(x)1xx1ln xx122xln 2x1xln xxx12 2xln 2.方法点拨：有关导数的计算方法：利用导数的定义；利用求导公式及求导法则.考点二导数的物理意义示范3 质点沿直线运动，运动方程 s16t312t1(s 的单位是米，t 的单位是秒)，那么质点在 t2 时的加速度为_分析 由物理意义知加速度 a(t)v(t)，v(t)s(t)解析 v(t)st12t212，v(t)t，在 t2
5、 秒时的加速度为 a(2)v(2)2 米/秒 2.答案 2 米/秒 2【点评】关键理解导数的物理意义展示3 一正方形铁板在 0 时，边长为 8 cm，加热后会膨胀当温度为 t 时，边长变为 8(1at)cm(a0)，则铁板面积对温度的膨胀率为_【答案】128a(1at)【解析】当温度为 t 时，铁板面积为 S64(1at)2，St128(1at)a，故铁板面积对温度的膨胀率为 128a(1at)方法点拨：导数即函数的瞬时变化率求“膨胀率、瞬时速度”即求函数的导数设质点的运动方程为ss(t)则s(t)表示质点的瞬时速度v(t)，v(t)表示质点的加速度考点三导数的几何意义示范4 已知二次函数 f
6、(x)满足：在 x1 时有导数为 0，图象过点(0，3)，在该点处的切线与直线 2xy0 平行，(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求过点(1，4)的切线方程分析(1)利用列方程组求 a，b，c 的值；(2)先求切线的斜率解析(1)设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2axb,由题设可得f10，f02，f03，即2ab0，b2，c3，a1，b2，c3.f(x)x22x3.(2)f(x)2x2,则切线的斜率 kf(1)0,所以切线方程为 y4.【点评】本题的解法是待定系数法、方程组法，并利用导数的几何意义是切线的斜率解题.展示4 已知函数 f(x)13x3x(x1,1)，函数 f(x
7、)的图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论【解析】f(x)x21，假设图象上存在两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得过此两点外的切线互相垂直在 A 处的切线的斜率为 k1x211，在 B 处的切线的斜率为 k2x221，由假设，得(x211)(x221)1.x1，x21,1，(x211)(x221)0.这与(x211)(x221)1 矛盾所以图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直方法点拨 3：导数的几何意义是该点处的切线的斜率，利用这一点可以解决一类切线的综合问题.本课的主要考点有导数的有关概念、求导公式、求导法则、导数的几何意义和物理意义，重点是导数
8、的几何意义的应用，注意二次函数、三次函数的图象的切线问题，关于切线的求法，若已知切点为(x0，y0)，则 kf(x0)，再由点斜式写直线方程；若不知切点坐标，则可设切点坐标为(x0，y0)，再利用 kf(x0)，y0f(x0)及题目的另一已知条件联立求得切线方程1(2011 湖南)曲线 ysin xsin xcos x12在点 M4，0 处的切线的斜率为()A12B.12C 22D.22【答案】B【解析】ycos xsin xcos xcos xsin xsin xsin xcos x21sin xcos x2，.故选 B.2(2011 山东)曲线 yx311 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D15【答案】C【解析】y3x2，y|x13.切线方程为 y123(x1)令 x0，得 y9.故选 C.
