1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系232 平面与平面垂直的判定第二章 点、直线、平面之间的位置关系 1理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小 2理解两平面垂直的定义 3掌握两平面垂直的判定定理1二面角(1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的_，这两个半平面叫做二面角的面(2)图形和记法记作：二面角_或二面角_或二面角_两个半平面棱-l-P-AB-QP-l-Q2二面角的平面角(1)定义：在二面角的棱上_一点 O，以点 O 为垂足，在两个半平面内分别作_棱的射线，则两条射线构成的_叫做二面角的平面角任取垂直于角(2)图形、符号及范围图形：符号：l，OlOA
2、，OBOAl，OBlAOB 是二面角的平面角范围：0AOB180(3)规定：二面角的大小可以用它的_来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是_的二面角叫做直二面角平面角直角3平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直，平面 与 垂直，记作_直二面角(2)判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直ll 垂线二面角的平面角的确定方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线如图(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面均有交线，
3、这两条射线所成的角，即为二面角的平面角如图(3)垂线法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角此种方法通用于求二面角的题目具体步骤为：一找、二证、三求如图 图 图 图判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关()(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的()(3)如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，则()在二面角-l-的棱 l 上任选一点 O，若AOB 是二面角-l-的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BOBAOl，BOlCABl，AO，B
4、ODAOl，BOl，且 AO，BO答案：D对于直线 m，n 和平面，能得出 的一组条件是()Amn，m，n Bmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n答案：C已知 l，则过 l 与 垂直的平面()A有 1 个B有 2 个C有无数个D不存在答案：C如图 P 是二面角-l-内的点，PA，PB，垂足分别为 A，B若APB80，则二面角-l-的大小为_答案：100探究点 1 二面角的求解 已知正四棱锥 S-ABCD(底面为正方形，各侧面为全等的等腰三角形)的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，求侧面与底面所成的二面角【解】设正四棱锥 S-ABCD 的高为 h，底面边长为 a，则 2a2(2 6)2
5、，所以 a212又13a2h12，所以 h36a23设 O 为 S 在底面上的投影，作 OECD 于 E，连接 SE，可知 SECD，SEO 为所求二面角的平面角tanSEOha23212 3，所以SEO60所以侧面与底面所成二面角的大小为 60在本例条件下，求二面角 D-SC-A 的正弦值解：如图，过点 O 作 OFSC，垂足为 F，连接 FD，OD，AC由例题解析知，SO平面 ABCD，且 O 是底面正方形的中心，所以 DOSO，DOAC，又 ACSOO所以 DO平面 SAC，又 SC平面 SAC，所以 SCDO，又 SCOF，DOOFO所以 SC平面 DOF，又 DF平面 DOF，所以
6、DFSC所以OFD 为二面角 D-SC-A 的平面角由例题解析知，OD 6，SC OC2OS2 69 15，OFOSOCSC3 615 3 25，所以 DFOF2OD2185 6 485，所以 sinOFDODDF6485 104，即二面角 D-SC-A 的正弦值为 104 求二面角的步骤(1)作出二面角的平面角(2)证明该角两边都与棱垂直，指出该角就是二面角的平面角(3)计算该角的大小，简记为作、证、求，简称为“一作二证三求”1已知 RtABC，斜边 BC，点 A，AO，O 为垂足，ABO30，ACO45，则二面角ABCO 的大小为_解析：如图，在平面ABC内，作 ADBC，且垂足为 D，连
7、接 OD，则ADO 即为二面角 ABCO 的平面角，设 OA1，则 AB2，OB 3，OC1，AC 2，所以 BC AB2AC2 6由 ABACBCAD，得 AD2 26 2 33，所以 sinADOAOAD 32，又因为ADO(0，90)，所以ADO60，所以二面角 ABCO 的大小为 60答案：60探究点 2 利用定义法证明两平面垂直 如图，在四面体 ABCD 中，BD2a，ABADCBCDACa求证：平面 ABD平面 BCD【证明】因为ABD 与BCD 是全等的等腰三角形，所以取 BD 的中点 E，连接 AE，CE，则 AEBD，BDCE在ABD 中，ABa，BE12BD 22 a，所以
8、 AEAB2BE2 22 a同理 CE 22 a，在AEC 中，AECE 22 a，ACa由于 AC2AE2CE2，所以 AECE，AEC 是二面角 A-BD-C 的平面角，又因AEC90，所以二面角 A-BD-C 为直二面角，所以平面 ABD平面 BCD 2如图，过 S 点引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90求证：平面 ABC平面 BSC证明：取 BC 中点 D，连接 SD、AD(图略)，由 SASBSC，ASBASC60，得 ABACSA所以 ADBC，SDBC，所以ADS 是二面角 A-BC-S 的平面角又BSC90，令 SA1，则 SD 22，
9、AD 22，所以 SD2AD2SA2所以ADS90，所以平面 ABC平面 BSC探究点 3 利用判定定理证明面面垂直 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，若 PA平面 ABCD 且 ABCD 是菱形求证：平面PAC平面 PBD【证明】因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 BDPA因为 ABCD 是菱形，所以 BDAC又 PAACA，所以 BD平面 PAC又因为 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAC利用判定定理证明面面垂直应注意的问题(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的
10、垂线不存在，则可通过辅助线来解决，而作辅助线时应有理论根据并有利于证明，不能随意添加(2)在证明垂直过程中，充分利用给出的线段长度判断是否构成勾股定理的逆定理 3如图所示，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB12PD证明：平面 PQC平面 DCQ证明：由四边形 ABCD 为正方形，可得 CDAD，又 PD平面 ABCD，所以 PDCD，PDAD，故 CD平面 AQPD，从而 CDPQ如图所示，取 PD 的中点 E，连接 QE则DEAQ，且 DEAQ，从而四边形 AQED 是平行四边形，则 QEAD，所以 QEPD，所以 DQQP设 QA1，则 AB1，PD2在DQ
11、P 中，有 DQQP 2，PD2所以 DQ2QP2PD2，故PQD90，即 DQPQ又 CDDQD，所以 PQ平面 DCQ又 PQ平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ1长方体 ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与面 ABCD 垂直的面有()A1 个 B3 个 C4 个 D5 个解析：选 C与面 ABCD 垂直的面有面 ABB1A1，面 BCC1B1，面 CDD1C1，面 DAA1D1，共 4 个2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，(1)二面角 D1-AB-D 的大小是_；(2)二面角 A1-AB-D 的大小是_解析：(1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB平面
12、AD1，则ABAD1又 ABAD，所以D1AD 即为二面角 D1-AB-D 的平面角，在 RtD1AD 中，D1AD45(2)与第一问同理可得，A1AD 为二面角 A1-AB-D 的平面角，所以二面角 A1-AB-D 的大小为 90答案：(1)45(2)903如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点求证：平面 PAC平面 PBC证明：由 AB 是圆的直径，得 ACBC由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAC本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放