1、第三章 直线与方程33 直线的交点坐标与距离公式331 两条直线的交点坐标332 两点间的距离第三章 直线与方程 1会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系3掌握两点间距离公式并会应用1两条直线的交点坐标已知直线 l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20若两直线方程组成的方程组A1xB1yC10A2xB2yC20有惟一解xx0yy0，则两直线相交，交点坐标为_(x0，y0)2方程组的解与两直线的位置关系方程组的解交点个数直线的位置关系无解0 个_有惟一解1 个_有无数组解无数个_平行相交重合3两点间的距离公式(1)条件：点 P1(x1，y
2、1)，P2(x2，y2)(2)结论：|P1P2|_(3)特例：点 P(x，y)到原点 O(0，0)的距离|OP|_(x2x1)2(y2y1)2x2y21共点直线系方程(1)经过两直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中 A1B2A2B1，在此方程中，无论 取什么实数，都得不到 A2xB2yC20，即它不能表示直线 l2(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)或 xx0(k为参数)2解析法(坐标法)建系技巧(1)要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算(2)如果图形中有互相垂直的两条线，可以
3、考虑将其作为坐标轴；如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形中心作为坐标原点；如果图形具有轴对称性，可以将图形的对称轴作为坐标轴判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若点 A(a，b)在直线 l：AxByC0 上，则点 A 的坐标一定适合直线 l 的方程()(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解()(3)当 A，B 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用()(2018济南质检)直线 3x4y20 与直线 2xy20的交点坐标是()A(2，2)B(2，2)C(2，2)D(2，2)答案：C已知点 P(3，2)，Q(1，2)，则 P，Q 两点之间
4、的距离为()A1 B2C3 D4答案：D直线 x2ay10 与直线 xy10 的交点在 y 轴上，则 a 的值为_答案：12探究点 1 两直线的交点问题 求经过两条直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线 l 的方程【解】法一：由方程组2x3y30，xy20，解得x35，y75.因为直线 l 和直线 3xy10 平行，所以直线 l 的斜率 k3所以根据点斜式有 y75 3x35，即所求直线 l 的方程为 15x5y160法二：设直线 l 的方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y230因为直线 l 与直线 3xy10平行，所以 23(3)0，解得 1
5、12 所以直线 l 的方程为2112 x112 3 y2112 30化简得 15x5y160将本例中的“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？解：设直线 l 的方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y230因为 l 与直线 3xy10 垂直，所以 3(2)(3)0，解得 34所以直线 l 的方程为234 x343 y234 30，即 5x15y180过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 1求经
6、过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线l 的方程解：法一：(直接法)解方程组x2y40，xy20，得 P(0，2)因为 l3的斜率为34，所以直线 l 的斜率为43所以 l 的方程为 y43x2，即 4x3y60法二：(待定系数法)设直线 l 的方程为 4x3ym0因为它过直线 l1 与 l2 的交点 P(0，2)，所以 4032m0，m6所以直线 l 的方程为 4x3y60法三：(直线系法)设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420，由题意，知 3(1)(4)(2)0，解得 11，即直线 l 的方程为 4
7、x3y60探究点 2 两点间距离公式的应用 已知ABC 的三个顶点是 A(1，1)，B(1，3)，C(3，0)(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)求ABC 的面积【解】(1)证明：由已知，得|AB|(11)23(1)22 5，|AC|(31)20(1)2 5，|BC|3(1)2(03)25，因为|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形(2)由于A 是直角，所以ABC 的面积 S12|AB|AC|122 5 55三角形形状的判断方法(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑
8、：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理 2已知ABC，点 A 在直线 xy0 上，点B、C 的坐标分别为(1，3)，(3，0)若 ABAC(1)求点 A 的坐标(2)求ABC 的面积解：(1)法一：可设 A 的坐标为(m，m)因为 ABAC，所以 kABkACm3m1 mm31即 2m2m30解得 m1 或 m32所以 A 的坐标为(1，1)或32，32 法二：可设 A 的坐标为(m，m)因为 ABAC，所以|AB|2|AC|2|BC|2即(m1)2(m3)2(m3)2(m)2(31)2(03)2，即 2m2m30(下
9、同法一)法三：BC 的中点为 M1，32，设 A 的坐标为(m，m)，因为 ABAC，所以|AM|12|BC|即(1m)232m212(31)2(03)2化简得 2m2m30(下同法一)(2)当 A 点的坐标为(1，1)时，ABC 的面积为 5，当 A 点的坐标为32，32 时|AB|13223322 102，|AC|332203223 102由于BAC90，所以 SABC12|AB|AC|12 102 3 102154 综上可知，当 A 点的坐标为(1，1)时，ABC 的面积为 5，当 A 点的坐标为32，32 时，ABC 的面积为154 探究点 3 运用坐标法解决平面几何问题 在ABC 中
10、，AD 是 BC 边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)【证明】设 BC 所在边为 x 轴，以 D 为原点，建立坐标系，如图所示，设 A(b，c)，C(a，0)，则 B(a，0)因为|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，所以|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，所以|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)3已知等腰梯形 ABCD 中，ABCD，试建立适当的直角坐标系，证明：|AC|BD|证明：以下底 AB 所在的直线为 x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标
11、系设 A(a，0)，C(b，c)，由等腰梯形的性质可知：B(a，0)，D(b，c)，则|AC|(ba)2(c0)2(ab)2c2|BD|(ab)2(0c)2(ab)2c2，所以|AC|BD|1经过直线 2xy40 与 xy50 的交点，且垂直于直线 x2y0 的直线的方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80答案：A2直线 ax2y80，4x3y10 和 2xy10 相交于一点，则 a 的值为()A1 B1C2 D2答案：B3两条直线 l1：2x3ym0 与 l2：xmy120 的交点在 y 轴上，那么 m 的值为()A24 B6C6 D以上答案均不对答案：C4已知直线 l 与两直线 y1 和 xy70 分别交于 A，B两点，若线段 AB的中点为 M(1，1)，则直线 l的斜率为()A32B23C32D23答案：D5设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|等于_解析：设 A(x，0)，B(0，y)因为 AB 中点 P(2，1)，所以x22，y21，所以 x4，y2，即 A(4，0)，B(0，2)，所以|AB|42222 5答案：2 5本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
