1、第三章 直线与方程32 直线的方程321 直线的点斜式方程第三章 直线与方程 1 掌 握 直 线 的 点 斜 式 方 程 和 直 线 的 斜 截 式 方程 2结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在 y 轴上的截距的含义 3会根据斜截式方程判断两直线的位置关系1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，则把方程_叫做直线 l 的点斜式方程，简称点斜式yy0k(xx0)(2)如图所示，过点 P0(x0，y0)，倾斜角是 90的直线没有点斜式，其方程为 xx00，或_xx02直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线 l 的斜率为 k，且与
2、 y 轴的交点为(0，b)，则方程_叫做直线 l 的斜截式方程，简称斜截式(2)一条直线与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的_倾斜角是直角的直线没有斜截式方程ykxb截距1直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系(1)斜截式方程中，k0 时，ykxb 即为一次函数，k0时，yb 不是一次函数(2)一次函数 ykxb(k0)一定可以看成一条直线的斜截式方程2截距与距离的区别“截距”并非“距离”，一般地，直线 l 与 y 轴(x 轴)交点的纵坐标(横坐标)叫做直线 l 在 y 轴(x 轴)上的截距，截距是一个实数，可正、可负、也可为零，而距离必须大于或等于 03两种特
3、殊情况下的直线方程(1)斜率不存在时：如果直线过点 P(x0，y0)，此时其方程不能用点斜式表示，方程为 xx0(2)斜率为零时：如果直线过点 P(x0，y0)，其斜率为 0，由点斜式方程可得方程为 yy0判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线的倾斜角为 0时，过(x0，y0)的直线 l 的方程为 yy0()(2)直线 y2x3 在 y 轴上的截距为 3()(3)直线与 y 轴交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概念()(4)直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线()直线 ykxb 过原点的条件是()Ak0 Bb0Ck0 且 b0 Dk0 且 b0答案：B直线 l 经
4、过点 P(2，3)，且倾斜角 45，则直线的点斜式方程是()Ay3x2By3x2Cy2x3 Dy2x3答案：A在 y 轴上的截距为 2，且与直线 y3x4 平行的直线的斜截式方程为_答案：y3x2探究点 1 直线的点斜式方程(1)写出满足下列条件的直线方程：经过点 A(3，1)，斜率为 2；经过点 B(2，1)，倾斜角是 120；经过点 C(0，5)且与 x 轴垂直(2)已知在第一象限的ABC 中，A(1，1)，B(5，1)，A60，B45，求：AB 边所在直线的方程；AC 边与 BC 边所在直线的方程【解】(1)y1 2(x3)倾斜角为 120，则斜率为 3，所以该直线方程为 y1 3(x
5、2)因为直线垂直于 x 轴，斜率不存在，所以该直线的方程为x0(y 轴所在的直线方程)(2)如图所示，因为 A(1，1)，B(5，1)，所以 ABx 轴，所以 AB 边所在直线方程为 y1因为A60，所以 kACtan 60 3，所以直线 AC 的方程为 y1 3(x1)因为B45，所以 kBCtan 1351，所以直线 BC 的方程为 y1(x5)求直线的点斜式方程的方法步骤 1(1)过点(1，2)，且倾斜角为 135的直线方程为_(2)已知直线 l 过点 A(2，1)且与直线 y14x3 垂直，则直线 l 的方程为_解析：(1)ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(x1)，即 xy
6、10(2)方程 y14x3 可化为 y14x34，由点斜式方程知其斜率 k4又因为 l 与直线 y14x3垂直，所以直线 l 的斜率为14又因为 l 过点 A(2，1)，所以直线 l 的方程为 y114(x2)，即 x4y60答案：(1)xy10(2)x4y60探究点 2 直线的斜截式方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；(2)倾斜角为 150，在 y 轴上的截距是2；(3)倾斜角为 60，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3【解】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y2x5(2)由于倾斜角为 150，所以斜率 ktan 150 33，由
7、斜截式可得直线方程为 y 33 x2(3)由于直线的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 3由于直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3，所以直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3，故所求直线方程为 y 3x3 或 y 3x3求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在 y 轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程 ykxb 中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数 k，b 的值即可(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率 k，只需引入参数 b；同理如果已知截距 b，只需引入参数 k 2
8、已知直线 l1的方程为 y2x3，l2的方程为 y4x2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线 l 的方程解：由斜截式方程知直线 l1的斜率 k12，又因为 ll1，所以 l 的斜率 kk12由题意知 l2在 y 轴上的截距为2，所以 l 在 y 轴上的截距 b2，由斜截式可得直线 l 的方程为 y2x2探究点 3 利用直线方程求解平行与垂直问题 已知直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2(1)当 a 为何值时，l1l2；(2)当 a 为何值时，l1l2【解】设直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，则 k11，k2a22，(1)当 l1l2时，有a2
9、21，2a2，解得 a1(2)当 l1l2时，k1k21，即 a221，所以 a23，所以 a 3保持本例条件不变：(1)若两条直线重合，求 a 的值；(2)求证：无论 a 为何值时，直线 l2恒过定点，并求出定点解：(1)两直线重合时a221，2a2，解得 a1(2)由 y(a22)x2 知，无论 a 为何值，l2 在 y 轴上的截距恒为 2即 l2恒过定点(0，2)判断两条直线位置关系的方法直线 l1：yk1xb1，直线 l2：yk2xb2(1)若 k1k2，则两直线相交(2)若 k1k2，则两直线平行或重合，当 b1b2时，两直线平行；当 b1b2时，两直线重合(3)特别地，当 k1k2
10、1 时，两直线垂直(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑 3(1)已知直线 yax2 和 y(a2)x1互相垂直，则 a_(2)若直线 l1：y2ax1a与直线 l2：y3x1 互相平行，则a_解析：(1)由题意可知 a(a2)1，解得 a1(2)由题意可知2a3，1a1，解得 a23答案：(1)1(2)231直线方程为 y22(x3)，则()A直线过(2，3)，斜率为 2B直线过(3，2)，斜率为12C直线过(3，2)，斜率为12D直线过(3，2)，斜率为 2答案：D2已知直线 l 的方程为 2x5y100，且在 y 轴上的截距为 b，则 b 等于()A2 B2C5 D5答案：B3过点(1，3)且垂直于直线 x2y30 的直线方程为()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70答案：A4过点(1，0)且与直线 x2y20 平行的直线方程为()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案：A5已知直线 l 的倾斜角是直线 yx1 的倾斜角的 2 倍，且过定点 P(3，3)，则直线 l 的方程为_答案：x3本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放