1、1曲边梯形的面积Sabf(x)dx.2变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程是sabv(t)dt3物体沿与变力F(x)相同方向移动，那么从位置xa到xb变力F(x)所做功是W4旋转体的体积公式是Vabf(x)2dx.abF(x)dx考点一 利用定积分求曲边梯形的面积 示范1求抛物线yx2与直线yx，y2x所围成的图形的面积分析 先求出交点坐标确定积分区间，考虑是否割补解析 如图，由yx2yx得A(1,1)由yx2y2x 得B(2,4)过A、B分别作x轴的垂线，则所求面积SSOBBSOAAS曲边梯形ABBA1224121112x2dx7213x3|217213(23
2、13)76.【点评】求不规则图形的面积，可以分割成或补成若干规则图形进行求解，注意运用曲边梯形的面积公式.展示1计算由直线y4、曲线y 4x 及直线yx所围成的封闭图形的面积【解析】如图所示，由 y4，y4x，得A(1,4)由y4x，yx，得B(2,2)由y4，yx，得C(4,4)所求面积S1244x dx24(4x)dx(4x4ln x)|214x12x2|42(84ln 2)4(168)(82)64ln 2.方法点拨：利用定积分求曲边梯形的面积，关键是确定边界函数，一般要先求交点，确定积分区间，注意割或补；注意可以对x求积分，也可以考虑对y求积分；注意利用图象考点二 利用定积分求变速直线运
3、动的路程 示范2 有一物体的运动速度函数v(t)t2，0t2，8t42，2t4，2t16，4t8，其中t的单位：分钟，v(t)的单位：米/分，(1)求该物体8分钟内运动的路程；(2)求该物体加速度最大时的时刻分析根据路程、速度与加速度的关系，表示出路程和加速度解析(1)S08V(t)dt02t2dt248(t4)2dt48(2t16)dt13t3|20(13t34t28t)|42(t216t)|8413(230)(134344284)(132342282)1632(米)(2)a(t)v(t)2t 0t22t4 2t42 4t80t2时，a(t)为增函数，2t4时，a(t)为减函数当t2时a(t
4、)最大答：物体加速度最大的时刻为第2分钟【点评】速度对时间的积分即为路程，速度对时间的导数即为加速度.分段函数的定积分必须分段处理.展示2(2009广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如下图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A在t1时刻，甲车在乙车前面B在t1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A【解析】由图象，可知曲线v甲比v乙在0t0,0t1与x轴所围成图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面，选A.方法点拨：利用定积分求变速直线运
5、动的路程，关键要掌握路程、速度与加速度的关系：v(t)v(0)0ta(t)dt；s(t)s(0)0tv(t)dt.考点三 利用定积分求变力所做的功 示范3一物体在力F(x)4x2(力的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x0处运动到x5处(单位：m)，求力F(x)所做的功分析 直接代入公式即可解析 w05F(x)dx05(4x2)dx(2x22x)|502522560(J)【点评】关键理解功、力、位移三者的关系展示3一物体按规律xbt3做直线运动，式中的x(m)为时间t(s)内通过的距离，如果物体受到的阻力F与速度平方成正比，比例系数为k，(1)把F表示为x的函数；(2)求物体从x0处到xa处克服阻力所做的功方法点拨：本题要注意功、力、位移的关系：WabF(x)dx.本课的主要考点有求曲边梯形的面积、物体运动路程、变力所做的功注意定积分运算性质、微积分基本公式的运用1(2011湖南理)由直线x3，x3，y0与曲线 ycos x所围成的封闭图形的面积为()A.12B1 C.32D.3【答案】D 2(2011全国理)由曲线yx、直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B4 C.163D6【答案】C
