1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系233 直线与平面垂直的性质234 平面与平面垂直的性质第二章 点、直线、平面之间的位置关系 1理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理 2会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题 3理解“平行”与“垂直”之间的相互转化1直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线_符号语言ab _图形语言作用线面垂直线线平行作平行线平行ab2平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则_垂直于_的直线与另一个平面_符号语言图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线一个平面内交线垂直平行关系与垂直关系之间的相互转化判
2、断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）若直线 a平面，直线 b平面，则直线 b直线a（）（2）若直线 a平面，直线 a直线 b，则直线 b平面（）（3）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面（）（4）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面（）下列命题：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直其中正确的个数是（）A0 B1C2 D3答案：D若两直线 a 与 b 异面，则过 a 且与 b 垂直的平面（）A有且只有一个B可能存在也可能不存在C有无数多个D一定不存
3、在解析：选 B当 ab 时，这样的平面存在，当 a 和 b 不垂直时，这样的平面不存在如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，BAC90，BC1AC，则 C1在平面 ABC 上的射影H 必在直线_上答案：AB探究点 1 线面垂直的性质定理的应用 如 图 所 示，在 正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N是 A1C 的中点，MN平面 A1DC求证：(1)MNAD1；(2)M 是 AB 的中点【证明】(1)因为四边形 ADD1A1为正方形，所以 AD1A1D又因为 CD平面 ADD1A1，所以 CDAD1因为 A1DCDD，所以 AD1平面 A1DC又因为 MN平面
4、 A1DC，所以 MNAD1(2)如图，连接 ON，在A1DC 中，A1OOD，A1NNC所以 ON12CD因为 CDAB，所以 ONAM又因为 MNOA，所以四边形 AMNO 为平行四边形所以 ONAM因为 ON12AB，所以 AM12DC12AB所以 M 是 AB 的中点证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行 1如图，已知 AB平面ACD，DE平
5、面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点求证：平面 BCE平面 CDE证明：取 CE 的中点 G，连接 FG、BG、AF(图略)因为 F 为 CD 的中点，所以 GFDE 且 GF12DE因为 AB平面 ACD，DE平面 ACD，所以 ABDE，所以 GFAB又 AB12DE，所以 GFAB所以四边形 GFAB 为平行四边形，则 AFBG因为ACD为等边三角形，F为 CD的中点，所以 AFCD因为 DE平面 ACD，AF平面 ACD，所以 DEAF又 CDDED，故 AF平面 CDE因为 BGAF，所以 BG平面 CDE因为 BG平面 BCE，所以平面 BCE平面
6、 CDE探究点 2 面面垂直的性质定理的应用 已知 P 是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC，求证：BCAC【证明】如图，在平面 PAC 内作 ADPC 于点 D，因为平面 PAC平面 PBC，AD平面 PAC，且 ADPC，所以 AD平面 PBC，又 BC平面 PBC，所以 ADBC因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC，因为 ADPAA，所以 BC平面 PAC，又 AC平面 PAC，所以 BCAC利用面面垂直性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直应用面面垂直的性质定理
7、，应注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线 2如图，ABC 是边长为 2的正三角形，若 AE平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，BDCD，且 BDCD求证：AE平面 BCD证明：如图，取 BC 的中点 M，连接 DM，AM，因为 BDCD，且 BDCD，BC2，所以 DM1，DMBC又因为平面 BCD平面 ABC，所以 DM平面 ABC，所以 AEDM又因为 AE平面 BCD，DM平面 BCD，所以 AE平面 BCD探究点 3 垂直关系的综合问题 如图，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，且 CECA2BD，M是 EA 的中点，求证
8、：(1)DEDA；(2)平面 BDM平面 ECA；(3)平面 DEA平面 ECA【证明】(1)如图，取 EC 的中点 F，连接DF因为 EC平面 ABC，BC平面 ABC，所以 ECBC易知 DFBC，所以 DFEC在 RtEFD 和 RtDBA 中，因为 EF12EC，EC2BD，所以 EFBD又 FDBCAB，所以 RtEFDRtDBA，故 DEDA(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MNEC，且 MN12EC因为 ECBD，BD12EC，所以 MNBD，所以 N 点在平面 BDM 内因为 EC平面 ABC，所以 ECBN又 CABN，所以 BN平面 ECA因为 BN 在平面
9、 MNBD 内，所以平面 MNBD平面 ECA，即平面 BDM平面 ECA(3)由第二问易知 DMBN，BN平面 CAE，所以 DM平面 ECA又 DM平面 DEA，所以平面 DEA平面 ECA垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：3如图，在四棱锥 P-ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD证明：(1)因为平
10、面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA底面 ABCD(2)因为 ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，所以 ABDE，且 ABDE所以四边形 ABED 为平行四边形所以 BEAD又因为 BE平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BE平面 PAD(3)因为 ABAD，而且四边形 ABED 为平行四边形，所以 BECD，ADCD由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PACD所以 CD平面 PAD所以 CDPD因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PDEF所以 CDEF又因为 CDBE，EFBEE，所以 CD平面 BEF因为 CD平面 P
11、CD，所以平面 BEF平面 PCD规范解答面面垂直性质定理的应用(本题满分 12 分)如图，P 是四边形 ABCD 所在平面外一点，四边形 ABCD 是DAB60，且边长为 a 的菱形侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD；(2)求证：ADPB【证明】(1)如图所示，连接 BD因为四边形 ABCD 是菱形，且DAB60，所以ABD 是正三角形，(2 分)因为 G 是 AD 的中点，所以BGAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.(3 分)所以 BG平面 PAD(6 分)(2)连接 PG(如图)因为
12、PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD.(7 分)又知 BGAD，而 PGBGG，PG平面 PBG，BG平面 PBG所以 AD平面 PBG(10 分)又因为 PB平面 PBG，所以 ADPB(12 分)(1)若所给题目条件中有面面垂直的条件，一般要注意观察是否有垂直于两平面交线的直线若有，则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若没有，一般要用性质定理作交线的垂线，转化为线面垂直、线线垂直(2)利用性质定理证明线面垂直的关键是在其中一个平面内找出一条直线垂直于交线，将面面垂直问题转化为线面垂直或线线垂直问题，而“直线在平面内”是极易被忽视的条件1已知长方体 ABCD-A1B1C1D1，
13、在平面 AB1上任取一点 M，作 MEAB 于 E，则()AME平面 AC BME平面 ACCME平面 ACD以上都有可能解析：选 A由于 ME平面 AB1，平面 AB1平面 ACAB，且平面 AB1平面 AC，MEAB，则 ME平面 AC2如图，矩形 ADEF 的边 AF平面 ABCD，且 AF2，CD3，则 CE_解析：因为 AF平面 ABCD，所以 ED平面 ABCD，所以EDC 为直角三角形，CEED2CD2 13答案：133如图，四边形 ABCD 中，BD2 3，AB2，AD4，将CBD 沿 BD 折起到EBD 的 位 置，使 平 面 EDB 平 面ABD求证：ABDE证明：在ABD 中，因为 AB2，AD4，BD2 3，所以 AB2BD2AD2，所以 ABBD又因为平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABDBD，AB平面 ABD，所以 AB平面 EBD因为 DE平面 EBD所以 ABDE本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放