1、第3章空间向量与立体几何第1课时空间向量及其线性运算 教学过程一、 问题情境必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.问题1游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示?解是向量,即+=.(图1)(图2)问题2如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么?还是向量吗?它与上面的位移向量相同吗?为什么?生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内.师:这就是我们今天要学习研究的内容空间向量.(点题)师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容?用什么方法
2、?二、 数学建构问题3空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些?11.概念梳理 平面向量空间向量定义 既有大小又有方向的量表示法几何表示: 字母表示:a, 向量的模向量的大小 相等向量方向相同且大小相等的向量 相反向量方向相反且大小相等的向量单位向量 模长等于1的向量2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算)(图1)加法:a+b=+=;减法:a-b=-=;数乘:a=(R).3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律)(图2)(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);(3)数乘分配律:(a+b)=a+b(R).4.共线(平行)向量(1)定义:如果表
3、示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.记作:a b.规定:零向量与任意向量共线.(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a0),b与a共线的充要条件是存在实数,使b=a.三、 数学运用【例1】(教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.(1)+;(2)+;(3)-.2(见学生用书P49)(例1)规范板书解(1)+=.(2)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以+=+=.(3)-=-=.向量,如图所示.变式(1)+=;(2)+=0.题后反思注意:若有多个向量参与运算,按照
4、“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算.【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是上底面A1B1C1D1的中心.若=m+n+,求m,n的值.3(见学生用书P50)(例2)处理建议引导学生将问题转化为向量如何用向量,表示,即可求得m,n的值.规范板书解因为点E是上底面A1B1C1D1的中心,所以=(+)=(+)=+.又因为+=,所以m=n=.题后反思逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.【例3】设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,求实数k的值.(见学生用书P50)处理建议A,B,D三点共线即=,转化
5、为向量共线问题进而求得k的值.规范板书解=5e1+4e2,=-e1-2e2,故=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.A,B,D三点共线,=,即e1+ke2=(6e1+6e2).e1,e2是不共线的向量, k=1.题后反思点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“a=b”和向量运算法则来解题.四、 课堂练习1.化简:+=0.2.下列等式中正确的有.0+a=a;0a=0;30=0;a-a=0;|0|=0.3. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1BD的重心.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.(第3题)解=+=+(+)=+(-)+(-)=+=a+b+c.五、 课堂小结1.本节课的主要学习内容为空间向量的基本概念、线性运算及其运算律.2.学习过程中运用类比的思想,掌握平面向量与空间向量的异同点.
