1、1如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2EFECEB2，所以EAEB，即E为AB的中点(2)由BC为圆O的直径，易得BFCE，所以SBECBFCECBBE，所以，所以BFa.2.(2015高考全国卷)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小解：(1)证明：如图，连接AE，由已知得A
2、EBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)设CE1，AEx.由已知得AB2，BE.由射影定理可得AE2CEBE，即x2，即x4x2120.解得x，所以ACB60.3.(2015高考湖南卷)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四
3、边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.4.(2016九江统考)如图，已知AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，ADCD交O于点E，连接AC、BC、OC、CE，延长AB交CD于F.(1)证明：BCCE；(2)证明：BCFEAC.证明：(1)因为CD为O的切线，C为切点，AB为O的直径，所以OCCD，又ADCD，所以OCAD，所以OCACAE，又OCOA，所以OACOCA，所以OACCAE，所以BCCE.(2)由弦切角定理可知，FCBOAC，所以FCBCAE，因为四边形 ABCE为圆O的内接四边形，所以ABCC
4、EA180，又ABCFBC180，所以FBCCEA，所以BCFEAC.1(2016西安地区八校联考)如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，ABBD.过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，PBD的角平分线与DC的延长线交于点E.(1)若AB3，PD2，求AD的长；(2)求证：BE2CEDE.解：(1)PD为圆O的切线，PA为圆O的割线，故PD2PBPAPB(PBBA)，所以(2)2PB(PB3)， PB4.又ABDP，PP，所以ADPDBP，所以，AD.(2)证明：由已知：BCEA，PBDABDA，而ABBD，故ABDA，所以PBD2A，又因为BE平分PBD，所以EBDA，所以BCEEBD，又BE
5、CBED，所以BECDEB，所以，BE2CEDE.2(2016郑州第一次质量预测)如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，AB5，求弦DE的长解：(1)证明：因为PGPD，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又因为EGAPGD，所以EGADBA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.又AFEP，所以PFA90，所以BDA90，故AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，AC
6、BD，从而得RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因为ABEP，所以DCEP，DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以DEAB5.3.(2016山西省质检)如图，O1与O2交于C，D两点，AB为O1的直径，连接AC并延长交O2于点E，连接AD并延长交O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G.(1)求证：GFAG；(2)过点G作O1的切线，切点为H，若G，C，D三点共线，GE1，EF6，求GH的长解：(1)证明：连接BC，GD.因为AB是O1的直径，所以ACB90，所以ABCCAB90.由A，B，C，D四点共圆，得A
7、BCFDC，由C，D，F，E四点共圆，得GECFDC，所以GECABC，所以GECCAB90，所以EGA90，即GFAG.(2)因为GH为O1的切线，GCD为O1的割线，所以GH2GCGD.又GCD，GEF为O2的两条割线，所以GCGDGEGF，所以GH2GEGF7，所以GH.4.(2016江西省调研)如图，已知圆O和圆M相交于A，B两点，AD为圆M的直径，直线BD交圆O于点C，点G为圆弧BD的中点，连接AG分别交圆O、BD于点E，F.连接CE.(1)求证：AGEFCEGD；(2)求证：.证明：(1)连接AB，AC，GD，因为AD为圆M的直径，所以AGD90，ABD90，则ABC90，所以AC为圆O的直径，所以CEA90，所以CEFAGD90，因为DFGCFE，所以ECFGDF，因为G为弧BD的中点，所以DAGGDF，所以DAGECF，所以RtCEFRtAGD，所以，所以AGEFCEGD.(2)由(1)知DAGGDF，GG，所以RtDFGRtADG，所以，所以DG2AGGF，由(1)知，所以，即.