1、巩固层知识整合提升层题型探究圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D以上都不对(2)已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A BC D(1)C(2)B(1)把轨迹方程5|3x4y12|写成动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)由e2，得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a又|F1F2|2
2、c4a，所以cosAF2F1故选B“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.1已知双曲线：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y(xc)与双曲线的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则双曲线的离心率为()A BC2 D1D直线y(
3、xc)过左焦点F1(c,0)，由于其斜率为，tanMF1F2，MF1F260又MF1F22MF2F1，MF2MF1且|MF1|F1F2|c，|MF2|c由双曲线定义得，|MF2|MF1|cc2a，双曲线的离心率e1圆锥曲线的方程【例2】(1)已知椭圆与双曲线1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此椭圆的方程为()A1 B1Cy21 Dx21(2)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|(其中B位于A，C之间)，且|AF|4，则抛物线的方程为()Ay28x By24xCy26x Dy22x(1)A(2)B(1)因为双曲线的焦点为(0
4、，4)，(0,4)，离心率为e12，所以椭圆的离心率e2设椭圆的标准方程为1(ab0)，则解得所以椭圆的方程为1故选A(2)如图，过A，B分别作AD，BE垂直于抛物线的准线，垂足为D，E，G为准线与x轴的交点，由抛物线的定义，得|BF|BE|，|AF|AD|4因为|BC|2|BF|，所以|BC|2|BE|，则在RtBCE中，BCE30，所以|AC|2|AD|8，所以|CF|844，所以|GF|2，即p|GF|2，所以抛物线的方程为y24x求圆锥曲线方程的一般步骤,一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定
5、式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0).(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.2已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，
6、故|AB|，|CD|4c由|CD|AB|得4c，即322解得2(舍去)，所以C1的离心率为(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1由于C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)，c3所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x圆锥曲线的几何性质【例3】(1)如图所示，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()ABC D(2)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与
7、C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为_思路探究：(1)由椭圆可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出，再求渐近线方程(1)D(2)xy0(1)由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF
8、1|2，因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1，e2因为e1e2，所以，即4，所以故双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性
9、质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.3已知椭圆1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是()ABC DAabc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e直线与圆锥曲线的位置关系【例4】已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程思路探究：(1)利用定义解题(2)
10、利用勾股定理和弦长公式来解解(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.(2)相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切.(3)相离：0直线与椭
11、圆相离；0直线与双曲线相离；b0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x4y50相切(1)求椭圆C的方程；(2)设不过原点的直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1k20，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意可得c1，即a2b21，由直线3x4y50与圆x2y2b2相切，可得b1，解得a，即椭圆的方程为y21(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线ykxm(m0)代入椭圆x22y22，可得(12k2)x24kmx2m220，即有16k2m28(12k2)(m2
12、1)0，x1x2，x1x2，由k1k20，即有2kx1x22m(mk)(x1x2)0，由根与系数的关系，可得2k2m(mk)0，化简得m2k，则直线的方程为ykx2k，即yk(x2)，故直线l恒过定点(2,0)(1)求定值问题的常用方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0
13、的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为ykxb，则直线ykxb恒过点(0，b)，若直线方程为yk(xa)，则直线恒过点(a，0).5已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解 (1)由题意得a2，b1，所以椭圆C的方程为y21又c，所以离心率e(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM1直线PB的方程为yx1令y0，得xN，从而|AN|2xN2所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2从而四边形ABNM的面积为定值