1、2.4.2抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1掌握抛物线的几何性质(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养2通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e12已知过抛物线y22px(p
2、0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p，|AF|x1；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切3直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有一个公共点；若0)，由顶点到准线的距离为2知p4，故选C3斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_由题意得直线方程为y(x1)，联立方程，得消去y得3x
3、210x30，xAxB，故|AB|1xA1xB24已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_2F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1AFx轴，|BF|AF|2抛物线几何性质的应用【例1】(1)等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2 Dp2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程(1)B由抛物线的对称性质及OAOB知，直线OA的方程为yx，由得A(2p,2p)，则B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以SABO
4、4p2p4p2，选择B(2)解：设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，交点A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)的焦点时，弦长|AB|x1x2p(3)“中点弦”问题解题策略两种方法2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2,1)
5、，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？思路探究：(1)直线ykxk过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断(2)直线与抛物线方程联立，根据“”的正负判断(1)C直线方程可化为yk(x1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y22px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C(2)解：由题意，直线l的方程为y1k(x2)，由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0当k0时，由方程得y1，把y1代入y24x，得x，这时，直线l与抛物线只有一个公共点当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)a由0，即2k2k10
6、，解得k1或k，所以方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点b由0，即2k2k10，解得1k，于是，当1k，且k0时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点c由0，解得k于是当k时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点综上，当k0或k1或k时，直线l与抛物线只有一个公共点当1k，且k0时直线l与抛物线有两个公共点当k时，直线l与抛物线无公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此
7、时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB11若本例题改为：如图所示，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面
8、积如何求解？解由解得或由图可知，A(4,4)，B(1，2)，则|AB|3设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|(y01)29|2y04，(y01)290)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：xmy1(m0)，则消去x得y24my40于是，有yM2m，xMmyM12m21，即M(2m21,2m)同理，N因此，直线MN的斜率kMN，方程为y2m(x2m21)，即mx(1m2)y3m0显然，不论m为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN过定点(3,0)应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简
9、便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、
10、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用3判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0)相交：有两个交点：有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即直线与抛物线有
11、一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28yC设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，通径为2p8，p4，所以抛物线方程为y28x或y28x2设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB()A30B45C60 D90D由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，则SAOB2a16，解得a4，所以|AB|8，|OA|OB|4，所以AOB903过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条C2条 D1条B当直线垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为ykx1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线4过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值解由抛物线y28x知，p4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以x1x2|AB|p由条件知3，则x1x26，所以|AB|p6，所以|AB|10
